Warum gibt es im idealen Gasgesetz eine Konstante?

Konstanten in der Physik sind nicht nur Einheitsanpassungen. Sie sind eigentlich sehr grundlegend. Ja, es ist eine heuristische und einfache Möglichkeit, Konstanten als Einheitenbewahrer zu erklären, und dagegen habe ich nichts; aber Konstanten repräsentieren eine Art privilegierte Gruppe in der Natur. Sie sind wie Symmetriepunkte, in denen sich alles bewegt, um die meisten so zu machen, dass ihre Werte gleich bleiben.

Jetzt für die Gaskonstante ($R$): Es ist eine experimentelle Konstante.

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine mit einem Gas gefüllte Thermosflasche mit einem Kolben an der Spitze, den Sie ziehen/drücken können, einem elektrischen Widerstand im Inneren, mit dem Sie das Gas erhitzen können, einem Thermometer und einem Barometer. Das Thermometer und das Barometer sind so platziert, dass sie die Temperatur und den Druck des Gases in der Flasche anzeigen können.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt messen Sie alle diese drei Parameter$p, V$Und$T$. Angenommen, Sie erhalten die Werte$p_0, V_0, T_0$. Führen Sie nun einen der folgenden Schritte aus:

Erhitzen Sie das Gas oder ziehen/drücken Sie den Kolben nach oben/unten. All das können Sie auf einmal tun. Führen Sie danach eine neue Messung der oben genannten Parameter durch. Nehmen wir an, Sie bekommen$p_1, V_1, T_1$.

Sie werden feststellen, dass, egal was Sie tun, in einem isolierten System die Werte der Parameter$p, V$Und$T$wird sich immer so ändern, dass das Verhältnis zwischen dem Produkt$pV$von$T$ist konstant , dh

Dies bedeutet, dass Sie nach einer ersten Messung einen Wert erhalten$φ$, müssen Sie in Zukunft nur noch 2 der Parameter messen, und der dritte wird mit einer Gleichung der Form ermittelt

Das Problem ist, dass Sie keine Annahme über die allgemeine Gültigkeit von Gleichung (2) machen können. Zu diesem Zeitpunkt ist es nur eine Ad-hoc- Gleichung, die dem Zweck Ihres aktuellen Setups oder Experiments dient. Was ist, wenn Sie die Gasmenge in der Flasche erhöhen/verringern? Oder Sie ändern die Gasart?

Im Fall der Erhöhung/Verringerung der Gasmenge im Inneren wird wie erwartet der Wert von$φ$wird um den gleichen Anteil erhöht/reduziert$n$als die Menge an hinzugefügtem/entferntem Gas. Oder

Wo$φ_0$ist der Wert von$φ$für eine Einheitsmenge Gas.

Der große Sprung hier ist eine Entdeckung von Amadeo Avogadro, bekannt als das Gesetz von Avogadro , das mit anderen Worten besagt, dass, wenn man die Menge der Substanz verwendet$n$in Bezug auf die Anzahl der Mole statt$\mathrm{kg}$oder$\mathrm{lbs}$, dann unter den gleichen Bedingungen von$p$Und$T$ alle Gase besetzen das gleiche Volumen, dh die Werte der$φ$Die sind gleich. Er entdeckte das für 1 Mol irgendeines Gases unter$1 \, \mathrm{atm}=101.325•10^5 \, \mathrm{ \frac{N}{m^2}}$Und$0 \, \mathrm{°C}= 273.15 \, \mathrm{K}$das Gas besetzen$V_0=22.4•10^{-3} \, \mathrm{m^3}$.

Jetzt können wir einen universellen Wert für generieren$φ_0$als

Nun kann (2) geschrieben werden als

und wenn wir dies tun, erhalten wir eine kompakte und universelle Form zur Beschreibung des thermodynamischen Systems.

Aber in (5) steckt mehr als nur eine kompakte Form der Beschreibung des thermodynamischen Systems. Wie Sie in (4) sehen können, sind die Einheiten von$pV$erweist sich$J$. Es stellt tatsächlich die Gesamtarbeit dar, die von einem isolierten thermodynamischen System geleistet wird. Ableitung von (3) für die gleiche Stoffmenge erhalten wir

$p \mathrm{d} V$ist die sogenannte expandierende reversible Arbeit und$V \mathrm{d} p$ist die sogenannte Schachtarbeit. Da auf der rechten Seite von (4) die einzige Variable steht$T$es gibt der Temperatur eine neue Bedeutung als irgendeine Form von Energie (oder Energiepotential), und wir können Wärme als Energie verstehen und nicht als irgendeine Art von Substanz, wie es in der Vergangenheit angenommen wurde.

1. Konstanten werden verwendet, um zwischen Größen unterschiedlicher Dimensionen umzurechnen.

2. Nehmen Sie den Fall von$I(t) = I_0\sin(\omega t)$, Zum Beispiel. Das Argument der$\sin$-Funktion muss dimensionslos sein. Daher, wenn$t$Dimensionen der Zeit hat, müssen wir sie mit einer Konstante mit Dimensionen der inversen Zeit multiplizieren, damit das Argument dimensionslos ist. Daher$\omega$ist so definiert, dass$\omega t$ist dimensionslos. Ebenso, wenn$I(t)$hat Dimensionen des Stroms, wir brauchen eine andere Konstante,$I_0$damit die rechte Seite auch Stromabmessungen hat. Wenn die Amplitude des Stroms beispielsweise 5 Ampere beträgt, drücken wir dies in der Konstante aus$I_0$.

3. Im Falle des idealen Gasgesetzes wollen wir$P$,$V$, Und$T$unterschiedliche Dimensionen haben. Die Konstante$R$(oder$k_B$), skalieren und die Maße auf der rechten Seite mit den Maßen auf der linken Seite in Beziehung setzen: nämlich Temperatur zu Druck (Kraft pro Fläche).

4. Beachten Sie, dass es für den Fall des idealen Gasgesetzes vollkommen in Ordnung wäre, dies zu schreiben$PV = NT$; das müsste man einfach verstehen$T$bedeutet jetzt etwas anderes, dh Temperatur hätte Dimensionen von Energie, was durchaus vernünftig ist, wie in diesem anderen Beitrag beschrieben .

Konstanten haben zwei wichtige Rollen in allen mathematischen Gleichungen. 1- Sie machen die Dimensionen auf beiden Seiten der Gleichung gleich. 2- Sie multiplizieren oder addieren, um den richtigen Wert des Ausdrucks zu erhalten, und dieser Wert wird durch Experimente bestimmt.

Zum Beispiel F=Gm1m2/r^2

Hier hat das G sowohl den Zweck, indem es den Wert 6,674 08 x 10-11 m3kg-1 s-2 annimmt, als auch die genaue Kraft angibt, die zwei Massen von je 1 kg aufeinander ausüben, wenn sie 1 m voneinander entfernt gehalten werden.

Und zweitens macht es durch die Dimension m3kg-1 s-2 die Dimension des gesamten Ausdrucks gleich der Dimension der Kraft.