Warum hat die Wechselwirkungsenergie eines induzierten Dipols mit dem Feld, das ihn induziert, einen Faktor von 1/2?

Die Kraft auf einen in einem elektrischen Feld platzierten Dipol ist gegeben durch$\mathbf{F} = (\mathbf{p}\cdot \nabla)\mathbf{E}$(siehe z. B. Griffiths, 3. Auflage, Gl. 4.5). Erinnere dich daran,

$$\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) = \mathbf{p}\times (\nabla\times \mathbf{E}) + \mathbf{E}\times(\nabla\times \mathbf{p})+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{p}$$ Annehmen $\nabla\times \mathbf{E} = 0$(Ich werde dies am Ende begründen, vertrau mir erst einmal). Wenn das Dipolmoment permanent ist, $\mathbf{p} = \mathrm{const}.$, der zweite und der vierte Term oben sind Null, und der Ausdruck für die Kraft kann umgeschrieben werden, $$\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})\quad\Rightarrow\quad U=-\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\mathbf{p}\cdot \mathbf{E} |_{r_a}^{r_b}$$ Wie auch immer, wenn $\mathbf{p}$ist keine Konstante, sondern $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$, Wo $\alpha$die Polarisierbarkeit ist, der vierte Term nicht Null ist, und $$\begin{split} \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) &= 2\alpha\mathbf{E}\times (\nabla\times \mathbf{E}) + 2\alpha(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}\\ &= 0+2(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E} \end{split}$$ Deshalb, $$U=-\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{r_a}^{r_b}\frac{1}{2}\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})=-\frac{1}{2} \mathbf{p}\cdot\mathbf{E} |_{r_a}^{r_b}$$ Die einzige offene Frage ist die Rechtfertigung der Annahme $\nabla\times\mathbf{E}=0$. Aus der relevanten Maxwell-Gleichung $\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$. Wenn Ihre Felder statisch sind, $\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$, und wir sind fertig.

In einer optischen Falle, der oben diskutierten Anwendung, ist das Feld nicht statisch und wir müssen etwas vorsichtiger sein. Eine optische Falle wird durch gegenläufiges Ausbreiten zweier identischer Laserstrahlen angeordnet. Unter der Annahme, dass die Balkenfronten ungefähr eben sind,

$$\mathbf{E} = \mathbf{E_1} + \mathbf{E_2}\\ \mathbf{B} = \mathbf{B_1} + \mathbf{B_2} = (\frac{1}{c}\mathbf{\hat{k}}\times\mathbf{E_1}) + (\frac{1}{c}(\mathbf{-\hat{k}})\times\mathbf{E_2})$$ Wenn die Strahlen so angeordnet sind, dass sie in Phase sind ( $\mathbf{E_1} = \mathbf{E_2}$), wir haben $\mathbf{B} = 0$immer und so $\nabla\times\mathbf{E}=0$.

Das ist also die Mathematik, aber was ist die Intuition? Zur Erstbestellung fallen bei jeder Änderung der Menge zwei Beiträge an$-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$: die Änderung in$\mathbf{p}$bei konstant$\mathbf{E}$und die Änderung in$\mathbf{E}$bei konstant$\mathbf{p}$. Aber der ersten dieser Veränderungen steht eigentlich keine Kraft entgegen: Streng genommen müsste die Energie des Dipols nur das Integral der zweiten sein. Für einen permanenten Dipol ist die erste Änderung Null, also kommen wir damit davon, die Energie als zu schreiben$-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$. Aber für einen induzierten Dipol ist dies nicht mehr der Fall. Lineare Polarisierbarkeit gab uns einen Faktor von$1/2$, aber allgemeinere Beziehungen zwischen$\mathbf{p}$Und$\mathbf{E}$kann Ihnen kompliziertere Antworten geben.

Denn der schwarze Bereich ist die Hälfte der Box darunter.

Zur Erklärung: Bewegen Sie den Dipol von einem feldfreien Bereich in einen Bereich der Feldstärke E. Dabei wirkt eine Kraft proportional zum Dipolmoment und zum Gradienten von E. Bei einem festen Dipol hängt diese Kraft nur von ab Farbverlauf (horizontale gestrichelte Linie). Bei einem induzierten Dipol hängt das Dipolmoment jedoch von E ab und wächst linear, wenn Sie sich vom Nullfeld zur vollen Stärke bewegen, sodass es während dieser Bewegung im Durchschnitt nur halb so stark ist (durchgezogene diagonale Linie).