Warum impliziert [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?

Question

Warum impliziert [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?

pkalk

Beim Lesen von Büchern und Artikeln über Quantenmechanik stoße ich oft auf eine Aussage über zwei „konjugierte“ Variablen. Z.B

Lassen $\hat{n}$ Und $\hat{\phi}$ zwei Variablen befriedigend $[\hat{n}, \hat{\phi}] = i$ . Dann wissen wir das $e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle$ hält.

Ich habe diese Aussage ziemlich oft gesehen, aber ich habe nie einen Beweis oder eine Erklärung für diese Tatsache gefunden. Wahrscheinlich ist es etwas ganz Grundlegendes, das jeder (außer mir) auswendig kennt oder zumindest in seinem Quantenmechanik-Kurs gelernt hat. Leider trifft beides nicht auf mich zu, so dass ich verwirrt zurückbleibe, woher das kommt. Ich habe auch versucht, es zu googeln, aber da ich den Namen dieser Beziehung nicht kenne, habe ich keinen auffälligen Namen, nach dem ich suchen könnte.

Ich habe versucht, es aus der Vertauschungsrelation unter Anwendung des Hadamard-Lemma und/oder der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel abzuleiten, aber nach einigen langwierigen Berechnungen habe ich nichts Brauchbares erhalten.

Eine Zeit lang habe ich versucht, diese Tatsache einfach als gegeben hinzunehmen, aber auf Dauer ist das sehr unbefriedigend. Daher hoffe ich, dass einige von Ihnen mir erklären können, was hinter dieser Beziehung steckt.

Der junge Kindaichi

Bedeutet Variable in Ihrem Fall den Operator?

pkalk

Ja, das ist der Grund für ' ' bei 'variable'. Ich habe im Zusammenhang mit dieser Aussage oft gelesen, dass sie konjugierte Variablen genannt werden, also wollte ich diesen Begriff verwenden, um einen Link für diejenigen zu ziehen, die mit diesem Thema vertraut sind. Wenn sie Skalare wären, wäre der Kommutator außerdem 0.

Antworten (2)

Warum impliziert [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?

Ja, das ist der Grund für ' ' bei 'variable'. Ich habe im Zusammenhang mit dieser Aussage oft gelesen, dass sie konjugierte Variablen genannt werden, also wollte ich diesen Begriff verwenden, um einen Link für diejenigen zu ziehen, die mit diesem Thema vertraut sind. Wenn sie Skalare wären, wäre der Kommutator außerdem 0.

MBolin · Answer 1

Lassen Sie uns rechnen

\hat{N} e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩ = \hat{N} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(ich \hat{ϕ})^{k}}{k!} | N ⟩ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{ich}^{k} ([\hat{N}, {\hat{ϕ}}^{k}] + {\hat{ϕ}}^{k} \hat{N})}{k!} | N ⟩ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{ich}^{k} (k {\hat{ϕ}}^{k - 1} [\hat{N}, \hat{ϕ}] + {\hat{ϕ}}^{k} \hat{N})}{k!} | N ⟩ = = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{ich}^{k} (k {\hat{ϕ}}^{k - 1} ich + {\hat{ϕ}}^{k} \hat{N})}{k!} | N ⟩ = ({ich}^{2} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{ich}^{k - 1} k {\hat{ϕ}}^{k - 1}}{k!} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{ich}^{k} {\hat{ϕ}}^{k}}{k!} \hat{N}) | N ⟩ = (- e^{ich \hat{ϕ}} + e^{ich \hat{ϕ}} \hat{N}) | N ⟩ = (N - 1) e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩

$\hat{n} \, e^{i \hat{\phi}} | n \rangle = \hat{n} \sum_{k=0}^\infty \frac{(i \hat{\phi})^k}{k!} | n \rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k \big( [ \hat{n},\hat{\phi}^k] + \hat{\phi}^k \hat{n} \big)}{k!} | n \rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k \big( k \, \hat{\phi}^{k-1} [\hat{n},\hat{\phi}] + \hat{\phi}^k \hat{n} \big)}{k!} | n \rangle = \\ = \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k \big( k \, \hat{\phi}^{k-1} i + \hat{\phi}^k \hat{n} \big)}{k!} | n \rangle = \left( i^2 \sum_{k=1}^\infty \frac{i^{k-1} k \hat{\phi}^{k-1} }{k!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k \hat{\phi}^k }{k!} \hat{n} \right) | n \rangle \\ = \left( - e^{i \hat{\phi}} + e^{i \hat{\phi}} \hat{n} \right)| n \rangle = (n-1) e^{i \hat{\phi}} | n \rangle$

wo wir das verwendet haben $[a,b^n] = n \, b^{n-1} [a,b]$ . Dies zeigt, dass $e^{i \hat{\phi}} | n \rangle$ ist ein Eigenvektor von $\hat{n}$ mit Eigenwert $n-1$ , dh es ist $| n-1 \rangle$ . Dies ist Ihr Ergebnis bis auf ein Zeichen, denn ich glaube, Sie haben einen Tippfehler in Ihrer Identität.

Der junge Kindaichi · Answer 2

Ich habe den folgenden Beweis gemacht (es könnte nützlich sein, aber es ist ziemlich groß):

\hat{N} | N ⟩ = N | N ⟩

$\hat n|n\rangle=n|n\rangle$

[\hat{N}, \hat{ϕ}] = ich (G ich v e N)

$[\hat n,\hat \phi]=i \ \ \ (\mathrm{given})$

[\hat{N}, e^{ich \hat{ϕ}}] = - e^{ich \hat{ϕ}}

$[\hat n,e^{i\hat \phi}]=-e^{i\hat \phi}$

Aus der Identität (siehe Beweis hier ):

[\hat{N}, e^{ich \hat{ϕ}}] | N ⟩ = (\hat{N} e^{ich \hat{ϕ}} - e^{ich \hat{ϕ}} \hat{N}) | N ⟩ = \hat{N} e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩ - N e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩

$[\hat n,e^{i\hat \phi}]|n\rangle=(\hat ne^{i\hat \phi}-e^{i\hat \phi} \hat n)|n\rangle=\hat ne^{i \hat \phi}|n\rangle-ne^{i\hat \phi}|n\rangle$

\Rightarrow - e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩ = \hat{N} e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩ - N e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩

$\Rightarrow -e^{i\hat \phi}|n\rangle =\hat ne^{i \hat \phi}|n\rangle-ne^{i\hat \phi}|n\rangle$ Begriffe neu anordnen:

\hat{N} (e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩) = (N - 1) (e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩)

$\hat n(e^{i\hat \phi}|n\rangle)=(n-1)(e^{i\hat \phi}|n\rangle)$ vergleichen mit

\hat{N} | N - 1 ⟩ = (N - 1) | N - 1 ⟩

$\hat{n}|n-1\rangle=(n-1)|n-1\rangle$

e^{ich \hat{ϕ}} | N ⟩ = (N - 1) | N - 1 ⟩

$e^{i\hat \phi}|n\rangle=(n-1)|n-1\rangle$

Es könnte einen Skalarfaktor geben, den ich weggelassen habe, der aber mit der Standardmethode gefunden werden kann, die während des Ladder-Operators verwendet wird .

Danke auch für deine Antwort! Leider kann ich nur eine Antwort als Lösung markieren. Trotzdem vielen Dank für deine Lösung!
Es ist überhaupt kein Problem :) Ich schreibe die Hälfte der Antwort, wenn die obige gepostet wird, also dachte ich, ich sollte sie beenden.

Warum impliziert [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?

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Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

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