Warum ist die Lebensdauer der (freien) Neutronen so lang?

Ein Neutron außerhalb des Kerns lebt etwa 15 Minuten und zerfällt hauptsächlich durch schwache Zerfälle (Beta-Zerfall). Viele andere schwach zerfallende Teilchen zerfallen mit Lebenszeiten dazwischen 10 − 10 und 10 − 12 Sekunden, was im Einklang steht a W ≃ 10 − 6 .

Warum lebt das Neutron so viel länger als die anderen?

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NB: Ich habe das Gefühl, dass dies ein ziemlich halbherziger Job ist, und ich entschuldige mich dafür, aber nachdem ich in den Kommentaren meinen Mund geöffnet habe, muss ich wohl etwas schreiben, um es zu untermauern.

Wir beginnen mit der goldenen Regel von Fermi für alle Übergänge. Die Wahrscheinlichkeit des Übergangs ist

P ich → f = 2 π ℏ | M ich , f | 2 ρ
wo ρ ist die Dichte der Endzustände, die proportional zu ist p 2 für massive Teilchen. Um die Rate 1 für alle möglichen Endzustände zu finden, summieren wir diese Wahrscheinlichkeiten inkohärent. Wenn der Massenunterschied zwischen Anfangs- und Endzustand viel geringer ist als der W Masse des Matrixelements M ich , f hängt nur schwach (hah!) vom jeweiligen Zustand ab und die Summe wird durch eine Summe nur über die Zustandsdichte gut angenähert:
P Verfall ≈ 2 π ℏ | M | 2 ∫ alle Ergebnisse ρ .
Diese Summe wird zusammenfassend als der für den Zerfall verfügbare Phasenraum bezeichnet. In diesen Fällen ist das Matrixelement aus dem von Dr. BDO besprochenen Grund ebenfalls recht klein .

Die Phasenraumberechnung kann ziemlich kompliziert sein, da sie über alle unbeschränkten Impulse der Produkte genommen werden muss. Für Zerfälle in zwei Körperzustände erweist es sich als einfach, es gibt keine Freiheit in den Endzuständen außer dem 4 π Winkelverteilung im Zerfallsrahmen (es gibt acht Freiheitsgrade in zwei 4-Vektoren, aber 2 Massen und die Erhaltung von vier Impulsen erklären alle, außer den Azimut- und Polarwinkeln eines der Teilchen).

Die Zerfälle, nach denen Sie gefragt haben, beziehen sich auf drei Körperzustände. Das gibt uns zwölf Freiheitsgrade weniger drei Einschränkungen durch Massen, vier durch die Erhaltung des 4-Impulses, was fünf übrig lässt. Drei davon sind die Euler-Winkel, die die Ausrichtung des Zerfalls beschreiben (und ein Faktor von 8 π 2 zu ρ ), also liegt unsere Summe über zwei nicht-trivalen Impulsen. Das Integral sieht in etwa so aus

ρ ∝ ∫ p 1 2 d p 1 ∫ p 2 2 d p 2 ∫ d ( cos ⁡ θ ) δ ( m 0 − E 1 − E 2 − E 3 ) δ ( E 1 2 − m 1 2 − p 1 2 ) δ ( E 2 2 − m 2 2 − p 2 2 ) δ ( E 2 2 − m 2 2 − p 2 2 ) δ ( p → 1 + p → 2 + p → 3 )
was in Monte Carlo einfacher zu berechnen ist als von Hand. (Übrigens – der Grund für die Einführung des scheinbar überflüssigen Integrals über den Winkel θ zwischen den Impulsen der Teilchen 1 und 2 wird sich in Kürze zeigen).

Bei Beta-Zerfällen ist der verbleibende Kern im Vergleich zur freigesetzten Energie sehr schwer, was das Obige in einer Grenze vereinfacht .

Im Fall des Myonenzerfalls ist es nicht unangemessen, alle Produkte als ultrarelativistisch zu behandeln, und das Obige reduziert sich auf

ρ ∝ ∫ p 1 2 d p 1 ∫ p 2 2 d p 2 ∫ d ( cos ⁡ θ ) δ ( m 0 − E 1 − E 2 − E 3 ) δ ( E 1 − p 1 ) δ ( E 2 − p 2 ) δ ( E 3 − p 3 ) δ ( p → 1 + p → 2 + p → 3 ) = ∫ p 1 2 d p 1 ∫ p 2 2 d p 2 ∫ d ( cos ⁡ θ ) δ ( m 0 − p 1 − p 2 − p 3 ) δ ( p → 1 + p → 2 + p → 3 ) = ∫ p 1 2 d p 1 ∫ p 2 2 d p 2 ∫ d ( cos ⁡ θ ) δ ( m 0 − p 1 − p 2 − | p → 1 + p → 2 | ) = ∫ p 1 2 d p 1 ∫ p 2 2 d p 2 ∫ d ( cos ⁡ θ ) δ ( m 0 − p 1 − p 2 − p 1 2 + p 2 2 − p 1 p 2 cos ⁡ θ )
Das Integral über den Winkel wird in einigen Regionen zu Eins und in anderen zu Null ausgewertet und ist als solches gleichbedeutend mit der korrekten Zuweisung der Grenzen der anderen beiden Integrale, also schriftlich δ m = m 0 − m 1 − m 2 − m 3 wir bekommen
∝ ∫ 0 δ m / 2 p 1 2 d p 1 ∫ 0 δ m − p 1 p 2 2 d p 2 ∝ ∫ 0 δ m / 2 p 1 2 d p 1 [ p 2 3 3 ] p 2 = 0 δ m − p 1 ∝ ∫ 0 δ m / 2 p 1 2 d p 1 ( δ m − p 1 ) 3 3
was ich nicht weiter beenden werde, sondern zeigt, dass dieser Phasenraum als hohe Potenz der Massendifferenz variieren kann (in diesem Fall bis zur sechsten Potenz).

1 Die Lebensdauer des Zustands ist umgekehrt proportional zur Wahrscheinlichkeit

dmckee, ich bin sehr amüsiert, aber sehr dankbar: Sie haben mir klar gemacht, wie wirklich falsch meine Flip-Antwort über die Schwäche der schwachen Kraft für Neutronen war ... und Sie haben eine Antwort zusammengestellt, die es wert ist, hier nachzuforschen! So danke.
@Terry Nun, Sie können Beispiele für starke Zerfälle und schwache Zerfälle mit ähnlichen Massenunterschieden und Endzuständen finden, und der Unterschied in der Zeit dieser ist alles auf die Masse der schwachen Bosonen zurückzuführen. Es ist einfach nicht die ganze Geschichte.
Eigentlich ist das eine ziemlich gute Antwort. Ich hatte etwas viel Kryptischeres erwartet, aber es war sowohl lesbar als auch gut mathematisch – nun, ich nehme an, es ist gut, ich habe es sicher nicht gegengeprüft! Vielen Dank. (Äh ... haben wir den Kerl vergessen, der das ursprünglich gefragt hat? ... :)
@Terry - vielleicht hast du (vergiss mich) aber ich habe die Frage nicht vergessen;) Tolle Antwort übrigens! Mein Dank gilt allen Beteiligten

Sie können die Neutronenlebensdauer mithilfe der Dimensionsanalyse abschätzen. Der Beta-Zerfall wird durch die bekannte Vier-Fermion-Fermi-Theorie korrekt beschrieben, daher muss die Amplitude proportional zur Kopplung sein G F ≈ 10 − 5 GeV − 2 (die Fermi-Konstante). Die Abklingrate ist proportional zur quadrierten Amplitude:

Γ ∝ G F 2 .

Γ hat Einheiten der Masse während G F 2 hat Einheiten von [ Masse ] − 4 , also müssen wir haben, um die Einheiten richtig zu schreiben

Γ ∝ G F 2 Δ 5

wo Δ ist eine Größe, die Masseneinheiten hat. Die relevante Massenskala beim Neutronenzerfall ist also die Massendifferenz zwischen Neutron und Proton Δ = m n − m p ≈ 10 − 3 GeV .

Um etwas genauer zu sein, kann man versuchen, das zu erraten π Abhängigkeit der Zerfallsrate. Dies kommt aus dem Phasenraum eines 3-Körper-Zerfalls, der normalerweise so abläuft

( 2 π ) 4 × [ ( 2 π ) − 3 × ( 2 π ) − 3 × ( 2 π ) − 3 ] × ( π 2 )   ∝   π − 3 .

Der erste Faktor kommt von der Delta-Funktion zur Erhaltung der vier Impulse, der Drei ( 2 π ) − 3 in der Klammer stammen aus dem Integrationsmaß der 4-Impulse jedes ausgehenden Teilchens und der letzte Faktor stammt aus der Integration der Winkelvariablen. Man erhält schließlich die folgende Abschätzung

Γ ∝ 1 π 3 G F 2 ( m n − m p ) 5

Steckt man alle Zahlen ein, liest man die geschätzte Lebensdauer des Neutrons

τ Neutron   =   Γ − 1   ≈   π 3   Sek.

Dies ist etwas kürzer als der reale Wert, der mindestens eine Größenordnung größer ist. Aber es erklärt, warum die Lebensdauer des Neutrons im Vergleich zu anderen schwachen Zerfallsprozessen so groß ist (Kehrwert der 5. Potenz der kleinen Massendifferenz).

Wie Sie richtig sagen, ist der Neutronenzerfall ein Zerfall aufgrund der schwachen Wechselwirkung, diese sind aufgrund der Masse des intermediären W-Bosons, 81 GeV, das die Reaktion verlangsamt, etwas langsamer als andere Zerfälle, außerdem setzt der Neutronenzerfall nur eine kleine Menge frei Energiemenge, etwa 1 MeV, ist es das Verhältnis der freigesetzten Energie zur Masse des W, das die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt, die somit viel langsamer ist als andere Zerfälle, da alle anderen Teilchenzerfälle viel mehr Energie freisetzen.

Dr. BDO hat es bereits auf den Punkt gebracht, um es nur aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten: Das Neutron zerfällt sehr langsam, weil es eine Möglichkeit hat, in das Proton mit etwas geringerer Masse zu zerfallen. Diese Option ist ein schwacher Zerfall, der erfordert, dass einer der inneren Teile der Neutronen, ein Down-Quark (Ladung -1/3), ein sehr massives Kraftteilchen namens a aussendet W − . Das W − zerfällt dann sofort in ein gewöhnliches Elektron und ein Antineutrino. Quanten-Zeit-Energie-Unsicherheit ermöglicht W − Teilchen zu bilden, aber aufgrund ihrer superhohen Masse nur sehr selten.
Das ist eigentlich sehr unvollständig, weil andere schwache Zerfälle sehr viel schneller ablaufen können. Der Myonenzerfall ist ein schwacher Prozess und hat eine Halbwertszeit von 10 − 6 Sekunden. Der Zerfall geladener Pionen ist ein schwacher Prozess mit einer Halbwertszeit von 10 − 8 Sekunden und so weiter. Dann gibt es schwache Zerfallsprozesse, die viel langsamer sind als bei vielen langlebigen beta-aktiven Isotopen. Der den Produkten zur Verfügung stehende Phasenraum spielt bei der vollständigen Antwort eine große Rolle.
Ich bin mit der Antwort nicht ganz zufrieden. Es scheint mir, dass dr-bdo-adams und @terry-bollinger dies anhand der Off-Shellness des W erklären. Aber der Unterschied ist immer noch zu groß, die Neutronenlebensdauer ist es 10 9 mal größer als die des Myon, aber die "befreite Energie" ist nur 10 2 kleiner. Geht das so ( E L M W ) 4 ? ( E L ist die freigesetzte Energie). Kann mir jemand Hinweise geben, warum wir eine so hohe Macht in der Abhängigkeit haben?
Nun, @dmckee hat Recht: Das war eine sehr unvollständige Erklärung, die ich versucht habe, und nur ein Ansatz, der sich mit den Produktphasenräumen befasst, kann den großen Bereich der Abklingzeiten schwacher Kräfte erklären. dmckee, Ball ist bei dir, wenn du es versuchen willst...
„dmckee, Ball ist in deinem Feld, wenn du es versuchen willst …“ @TerryBollinger Ich habe tatsächlich direkt nach dem Posten der Frage angefangen, nur um festzustellen, dass ich im Moment kein vollständiges Bild bieten kann. Ich muss einen Teil meiner reichlichen Freizeit nutzen und mich in dieser Angelegenheit auffrischen.
Cool, ich freue mich auf deine Antwort! Ich war lange Zeit in diesem Punkt schlampig und hatte nicht einmal aufgehört, über meine Widersprüchlichkeit nachzudenken, bis Sie und @Forever_a_Newcomer darauf hingewiesen haben. Das ist wirklich eine interessantere Frage, als ich auf den ersten Blick gedacht hatte.
Warum ist die Lebensdauer der (freien) Neutronen so lang?
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