Warum können Ellipsen verwendet werden, um Quadrate in perspektivischen Zeichnungen zu finden?

In Scott Robertsons Buch How to Draw schlägt er eine Methode vor, um proportionale Quadrate mithilfe von Ellipsen zu finden:

wie man ein Buch zeichnet

(Die von ihm erwähnten "Bedingungen" sind auf der vorherigen Seite beschrieben und lauten einfach, dass die linke und rechte Seite der Ellipse die Seiten der Ebene an ihren Mittelpunkten treffen sollten und die oberen und unteren Punkte vertikal ausgerichtet sein sollten.)

Ich verstehe, dass ein Kreis in der Perspektive immer zu einer Ellipse wird, aber ich verstehe nicht die hier vorgeschlagene Idee, dass eine Ellipse, die perspektivisch an die Seite einer Ebene passt, in der Draufsicht ein perfekter Kreis sein muss. Was hindert diese hier gezeichnete Ellipse daran, auch in der Draufsicht eine (anders proportionierte) Ellipse zu sein?

Durch Experimentieren habe ich jedoch herausgefunden, dass dies wahr ist. Unten sehen Sie zwei perfekte Würfel in einem 3D-Modellierungsprogramm, und wenn Sie das Ellipsenwerkzeug über beide legen, führt die einzige Möglichkeit, die Ellipse so anzupassen, wie sie von Scott beschrieben wurde, dazu, dass die Ellipse perfekt auf die Fläche eines der Würfel passt Würfel.

Blender-Screenshot

Ich habe jedoch auch einen Grenzfall gefunden, in dem dies nicht zutrifft. Wenn die Nebenachse der Ellipse parallel zur Horizontlinie verläuft, passt jede beliebige Ellipsengröße in die Regeln, die ein perfektes Quadrat bilden sollten.

Nach Scotts Regeln ist dies ein perfektes Quadrat:

Ellipsendiagramm

Und doch ist dies so:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Da diese Regel zwar in einigen Fällen zutrifft, aber nicht in allen, sind meine Fragen:

1) Was ist der Grund für diese Regel? Wie ergibt das Zeichnen einer Ellipse auf diese Weise einen perfekten Kreis?

2) Wann kann diese Regel angewendet werden und wann bricht sie zusammen?

Der gezeigte Doppeltext geht zunächst davon aus, dass man bereits eine einzelne Ellipse und ein perspektivisches Quadrat darum herum zeichnen kann. (=zeichne zuerst eine Ellipse, dann zeichne das einzig mögliche perspektivische Quadrat darum herum) Die Übereinstimmung zwischen Quadrat und Ellipse wird mit Regeln hergestellt, die auf den vorherigen Seiten erklärt wurden. Ich vermute, Sie halten sich nicht an diese Regeln. Ich habe dieses Buch nicht, daher ist es nicht möglich, eine richtig argumentierte Antwort anstelle von Vermutungen zu schreiben. Aber Sie werden einen bekommen, der davon ausgeht, dass das Buch perfekt ist.
@ user287001 Ich verstehe, dass jede einzelne Ellipse in der Perspektive aus einem bestimmten Winkel als perfekter Kreis in der Draufsicht dargestellt werden kann. Was mir jedoch nicht folgt, ist die Idee, dass eine Ellipse, die Sie auf einer abgewinkelten Ebene zeichnen, einen perfekten Kreis in demselben Winkel darstellt. Schauen Sie sich die letzten beiden Bilder in meiner Frage an. Offensichtlich ist mindestens einer davon kein perfekter Kreis im Winkel der Ebene.
@JShorthouse Eigentlich kannst du das nicht machen. Es ist eine oft verwendete Annäherung. Aber ein Kreis wird in einer perspektivischen Zeichnung nicht zu einem Oval. Auch die Hauptachsen der ungefähren Ellipse verlaufen nicht entlang der von Ihnen gezeichneten Achse
@joojaa "Aber ein Kreis wird in einer perspektivischen Zeichnung nicht zu einem Oval" hast du eine Quelle / Erklärung dafür? Ich dachte, dass dies ziemlich allgemein als wahr angesehen wird. "Ein Kreis im physischen Raum erscheint immer als Ellipse auf der Bildebene, außer wenn er von der Kante betrachtet wird." handprint.com/HP/WCL/perspect5.html
math.stackexchange.com/questions/2674874/… Warum wäre das wichtig? Nun, vielleicht stehen Sie in Ihrem Bild im Kreis
Wie auch immer, das Problem ist, dass Sie die Ellipse falsch gezeichnet haben. Die Haupt- und Nebenachse stimmen nicht immer so überein, wie Sie denken. Auf jeden Fall möchten Sie vielleicht die Kabelmethode nachschlagen.
@joojaa Also wird ein Kreis tatsächlich immer zu einer Ellipse, es sei denn offensichtlich, wenn der Kreis nicht vollständig in die Bildebene passt? Was hatte es für einen Sinn, so pedantisch zu sein? Aber trotzdem, was denkst du, ist mit meinen Äxten nicht in Ordnung? Die Nebenachse zeigt immer zum gegenüberliegenden Fluchtpunkt, richtig? Welche Ellipse in meinen Beispielen ist falsch gezeichnet?
Beide. Sie sollten die Akkordmethode nachschlagen. Beachten Sie auch, dass die Tangente nicht an den Achsen auftritt, sondern an einer anderen Stelle, sodass Sie an der falschen Stelle suchen.
@joojaa Entschuldigung, ich habe vergessen, was in meinem Beitrag stand. Ich weiß, dass beide Bilder, die ich gezeichnet habe, falsch sind, das war der Punkt meiner Frage. Das Bild, in dem ich eine Ellipse auf einem 3D-Rendering überlagert habe, ist jedoch korrekt, oder?
Nein, es trifft nicht alle Kanten tangential. Aber es ist näher
@joojaa In Ordnung, die beiden wichtigsten Dinge, auf die Sie achten müssen, sind, dass die Nebenachse auf den gegenüberliegenden Fluchtpunkt zeigt und dass alle Kanten der Ellipse tangential auf die Mittelpunkte der Kanten der Ebene treffen? Ich habe schon einmal über die Akkordmethode gelesen, aber ich werde sie noch einmal nachschlagen. Die Akkordmethode ist nur eine Möglichkeit, zu überprüfen, ob diese beiden Eigenschaften erfüllt sind, obwohl sie keine zusätzlichen Einschränkungen einführt.
Sie wundern sich zu Recht darüber. Kurz gesagt, die Techniken von Scott Robertson basieren auf einigen verbreiteten Missverständnissen, die nicht immer funktionieren, wie Ihr Beispiel zeigt. Die "Akkordmethode", wie ich sie verstehe, basiert auf demselben Missverständnis.

Antworten (2)

Sie haben Recht, dass drei Tangentenlinien eine Ellipse nicht eindeutig bestimmen. Angesichts der Nebenachse haben wir jedoch auch genügend Informationen. Der Sinn von Scott Robertsons Methode besteht darin, anzunehmen, dass die fragliche Ellipse einem Kreis entspricht und dass sich das Objekt in der Nähe des Sehzentrums befindet. Unter diesen Annahmen wird die Nebenachse effektiv entlang der Normalen zur Ebene des Kreises liegen und durch seinen Mittelpunkt verlaufen. Wenn wir also drei Linien durch ein perspektivisches Quadrat sowie seine Ausrichtung gegeben haben, können wir eine Ellipse einschreiben, um ein gutes Gefühl dafür zu bekommen, wo die vierte Seite platziert werden soll.

Es gibt ein paar Probleme mit Robertsons Technik. Zum einen fällt es auseinander, wenn sich Ihr Objekt nicht in der Nähe des Sehzentrums befindet. (Er stellt seine Technik so dar, als ob sie allgemeingültig wäre, aber es ist wirklich nur eine Annäherung.) Betrachten Sie zum Beispiel die folgenden Würfel:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Da die Würfel durch die extreme Perspektive verzerrt werden, würde Robertsons Methode zu einer völlig falschen Zeichnung führen. Die Oberflächennormale liegt nicht einmal nahe an der Nebenachse der Ellipse.

Ein weiteres Problem ist die von Ihnen angesprochene Frage, wo die Nebenachse am Horizont liegt. In diesem Fall ist Robertsons Methode weniger falsch als unzureichend. Betrachten Sie den folgenden Würfel:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ellipsen, die in die beiden sichtbaren Flächen eingeschrieben sind, hätten dieselbe Nebenachse (nämlich entlang des Horizonts), ihre Grade wären jedoch offensichtlich sehr unterschiedlich. Sie haben also Recht, wenn Sie sagen: "Nach Scotts Regeln ist dies ein perfektes Quadrat [...] und doch ist dies so." Wir müssen im Wesentlichen bereits wissen, wo sich die vierte Seite befindet (die wir anhand des Winkels intuitiv beurteilen oder auf andere Weise genauer messen könnten), was die Ellipsenmethode natürlich sinnlos macht.

Kurz gesagt, nehmen Sie Robertsons Techniken als Annäherungen, die in einigen, aber nicht allen Situationen nützlich sind, und achten Sie darauf, nicht alles zu glauben, was er behauptet.

Sie interpretieren die Begriffe "vertikal ausgerichtet" und "Mittelpunkt" falsch. Sie sollten nicht in Bezug auf Ihre Zeichnung gedacht werden, sondern in der imaginären Ansicht, in der eine Seite und ein Kreis im Inneren direkt auf das Gesicht des Betrachters gerichtet sind.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hier ist eine Seite der Gitterecke. Der Fluchtpunkt V und die Punkte A und B werden nur für gutes Aussehen ausgewählt. AB ist eine Kante eines Würfels. AV und BV sind die Richtungen von 2 weiteren Kanten. Die Platzierung der 4. Kante GH kann jedoch mit einer Ellipse erfolgen.

Man muss die Ellipse so platzieren, dass sie die Tangenten AB, AV und BV hat. Nur eine Ellipse passt, es gibt keine andere Wahl. Sie haben völlig unterschiedliche Ellipsen platziert, die 3 x Tangentenregel wird überhaupt nicht eingehalten.

Die horizontale Diagonale des geraden Gesichtskreises wird auf eine Linie abgebildet, die zwischen dem Tangentialpunkt C und V liegt. C ist der Punkt auf halber Höhe von AB.

Der Punkt auf halber Höhe bei GH ist die Kreuzung F. Die Tangente bei F ist das fehlende GH.

Die Hauptachsen der Ellipse sind im Allgemeinen NICHT die perspektivischen Bilder der horizontalen und vertikalen Diagonalen des geraden Gesichtskreises.

HINZUFÜGEN: Um G und H zu finden, muss keine Tangente durch F gezogen werden. Man kann auch Linien von A und B zur Kreuzung J ziehen. Wenn man diese Linien verlängert, um AV und BV zu kreuzen, erhält man G und H

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Ellipse wird noch benötigt, weil J die Kreuzung von CV und DE ist. Ohne die Ellipse haben Sie weder C, D noch E.

Also nur zur Klarstellung, der Schlüssel hier (der dem Buch fehlt) ist, dass die Tangenten der Ellipse an den Mittelpunkten gleiche Winkel zu den Kanten der Ebene haben sollten? Das macht sehr viel Sinn, und obwohl ich vorher wusste, dass meine zweite Zeichnung offensichtlich falsch war, ist es jetzt einfach zu beweisen, dass dies der Fall ist - die Tangenten, an denen die Ellipse auf die Kanten trifft, wären im Grunde vollständig horizontal, sie stimmen nicht mit den Ebenenkanten überein überhaupt.
@JShorthouse Nein, das Buch sagt dies im Text für Bild 2. Es ist nur leicht undurchsichtig. Das Beispiel ist schlecht, obwohl es zu gerade ist, so dass Sie am Ende daran denken, Tangenten an der falschen Stelle zu suchen.
@JShorthouse Tangente einer Kurve ist eine Linie, die die Kurve genau in einem Punkt trifft. Verwenden Sie dieses Kriterium. Alle Winkel sind Folgen dieser Tatsache, versuchen Sie nicht, ihre Beziehungen zu erraten. Die Bilder der Punkte, an denen der Kreis innerhalb des geraden Quadrats auf das Quadrat trifft, sind C, D, E und F. Sie sind die Bilder der Mittelpunkte der Kanten des Quadrats. C, D, E und F unterscheiden sich von den Mittelpunkten von AB, AG, GH und BH.
@ user287001 Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie sagen wollen. Sagen Sie nur, dass die Mittelpunkte auf der Bildebene nicht mit den tatsächlichen Mittelpunkten des Quadrats übereinstimmen? Weil ich das schon wusste, sorry, wenn ich mich unklar ausgedrückt habe. Das verstehe ich aus Ihrer Antwort, ist das richtig? "Die Stellen, an denen die Ellipse auf die Kanten der Ebene trifft, sollten sich in den Mittelpunkten des tatsächlichen Quadrats befinden, und an diesen Punkten sollte die Tangente der Ellipse gleich der Kante der Ebene sein."
Das ist in Ordnung: "Die Stellen, an denen die Ellipse auf die Kanten der Ebene trifft, sollten sich in den Mittelpunkten des tatsächlichen Quadrats befinden." Das nächste ist mehrdeutig: "an diesen Punkten sollte die Tangente der Ellipse gleich der Kante der Ebene sein" Wort "gleich" =? Gleich mit welchen Maßnahmen? "Gleichheit" ist eine akzeptable Bedeutung für gleich.
@ user287001 Ich kenne den genauen mathematischen Begriff nicht, mit "gleich" meine ich, dass die Linien übereinander liegen würden, dh sie haben genau den gleichen Winkel.
@JShorthouse Ich kann aus dem Text nicht verstehen, welche Winkel gleich sein sollten. Ich empfehle, nichts über Winkel zu erraten. Viele Leute versuchen, einen Winkel ungleich Null zwischen einer Kurve und einer Linie zu sehen, die die Tangente dieser Kurve ist. In der Mathematik ist ein solcher Versuch totaler Unsinn, bis der Sprecher auch eine Methode gibt, wie der Winkel gemessen wird.
Warum können Ellipsen verwendet werden, um Quadrate in perspektivischen Zeichnungen zu finden?
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