Warum konzentriert sich der Rückstrom durch die Masseebene einer Leiterplatte unterhalb der Leiterbahn?

Denken Sie daran, dass die Geschichte, die wir Kindern über elektrische Ströme erzählen – dass Energie in elektrischen Schaltkreisen durch bewegliche elektrische Ladungen transportiert wird – irgendwo zwischen einer übermäßigen Vereinfachung und einer Fiktion liegt. Der Energiefluss in Stromkreisen wird durch elektromagnetische Felder getragen . Das gilt sogar für Gleichstromkreise wie den folgenden. Sie können sich die Übertragungsleitung zwischen der Spannungsquelle und der Last als Kondensator mit einem elektrischen Feld vorstellen$\color{red}{\vec E}$vom oberen Draht nach unten zeigend und als Induktor mit einem Magnetfeld$\color{green}{\vec H}$zeigt in die Seite in der Schleife und kehrt nach außen zurück. Die Größe und Richtung des Kraftflusses wird durch den Poynting-Vektor angegeben$\color{blue}{\vec S} \propto \color{red}{\vec E}\times\color{green}{\vec H}$, der von der Batterie auf die Übertragungsleitung und in den Widerstand zeigt. Wenn Sie das harte, dreidimensionale Integral durchführen, um herauszufinden, wie viel des Leistungsflusses in dieser Art von Schaltung durch den Poynting-Vektor beschrieben wird, finden Sie ... alles.

Von Chetvorno - Eigene Arbeit, CC0 , Link

Um die Ladungsverteilung auf der Masseebene zu finden, müssen wir die Randbedingungen für das elektromagnetische Feld an den Oberflächen der Leiter erfüllen. Lassen Sie uns zuerst eine statische Aufladung der Leiterbahn durchführen (z. B. ein Konstantspannungssignal an einen FET mit sehr großer Eingangsimpedanz, sodass er keinen Strom zieht), um sich aufzuwärmen. Für eine Punktladung über einer unendlich leitenden Ebene bei$z=0$ergibt das Verfahren der Bildladungen die Ladungsdichte auf der Masseebene

Wo$\rho$ist der zylindrische Abstand von der Punktladung. Beachten Sie, dass die Gesamtentfernung zwischen einem Punkt$(\rho,\phi,0)$auf der Grundebene und der Punktladung bei$(0,\text{anything},a)$Ist$r=(\rho^2+a^2)^{1/2}$. Wenn$\theta$ist der Winkel dazwischen$\vec r$und die Vertikale haben wir$\sigma \propto r^{-3}a \propto r^{-2}\cos\theta$für eine Punktgebühr.

Wir haben dieses Ergebnis unter Verwendung des Potentials für eine Punktladung (und ihr Spiegelbild) von erhalten$V\propto r^{-1}$für eine Distanz$r$aus der Ladung. Das Potential aufgrund einer Leitungsladung geht wie folgt$V\propto \ln r$für einen (senkrechten) Abstand$r$aus der Ladung. Die gleiche Ableitung wie in (1) sollte uns dann ergeben$\sigma \propto r^{-1}\cos\theta$, aber ich lasse die Details und$2\pi$s und so weiter zu Ihnen.

Da ist also Ihre Ableitung für eine statische Leitungsladung. Wie ändert sich die Ladungsverteilung auf der Masseebene, wenn ein Strom fließt? Die Antwort ist, dass dies nicht der Fall ist. Die Randbedingung an$\vec E$an der Bodenebene ist das immer noch so$\vec E$muss normal zur Ebene sein. Der Strom führt überall ein Magnetfeld ein$\vec B$das ist senkrecht zur Richtung des Leitungsstroms. Betrachten Sie zuerst den DC/Nullfrequenz-Fall: Es gibt keinen$\partial\vec B/\partial t$um das elektrische Feld zu ändern, muss also die Ladungsdichte die gleiche sein wie im statischen Fall. Dies widerlegt die (vernünftige) Intuition, die Sie in Ihrer Frage angeben, dass der Erdungsstrom vom Leitungsstrom magnetisch abgestoßen werden sollte: Dies würde ein elektrisches Querfeld auf der Oberfläche des Erdungsleiters aufbauen.

Bei einem Wechselstrom kann man sich die Strombahn als Leitungsladung vorstellen, deren Ladungsdichte sich sinusförmig entlang ihrer Länge ändert. Die Methode der Bildladungen legt nahe, dass die Oberflächenladung unter der Grundebene noch gerne variieren sollte$\sigma\propto r^{-1}\cos\theta$für jeden "Querschnitt" unter der Stromspur, was die gleichen elektrischen Felder ergibt, als ob es eine Gegenspur unter der Masseebene mit der entgegengesetzten Ladungsverteilung gäbe. Diese Ladungsverteilung ist ungleich Null$\vec E_\parallel$an der Masseebene in Richtung des Leitungsstroms; das sind die Felder, die sich zusammen mit dem Wandel$\vec B$, bewegen die Groundplane-Ladungen parallel zum Stromfluss. Die Aufgabe, zu beweisen, dass die Ground-Plane-Komponente von$\vec E$quer zur Leiterbahn überall verschwindet überlasse ich ebenfalls.

Hier ist ein weiteres Argument, dass die statischen und dynamischen Ladungsverteilungen quer zur Leiterbahn aufgrund der Symmetrie gleich sein sollten. (Ich glaube, ich habe dieses Problem aus dem E&M-Lehrbuch von Griffiths gelernt.) Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei unendliche, parallele Linienladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen, die relativ zueinander ruhen: Sie erfahren eine elektrostatische Anziehung, aber keine magnetische Wechselwirkung. Ein anderer Experimentator, der an Ihnen vorbeigeht, sieht jedoch die beiden Linienladungen in ihrem verstärkten Referenzrahmen, sieht die Linienladungen als antiparallele Ströme, die zusätzlich zu ihrer elektrostatischen Anziehung eine magnetische Abstoßung haben; Die magnetische Abstoßung wird in ihrem Bezugssystem stärker, je schneller sie an Ihnen vorbeizieht und der scheinbare Strom wird größer. Es erscheint plausibel, Wenn der andere Experimentator schnell genug an Ihnen vorbeigeht, sieht er möglicherweise, dass die magnetische Abstoßung größer wird als die elektrostatische Anziehung. Dann würden Sie sich nicht darüber einig sein, ob die beiden Linienladungen voneinander angezogen oder abgestoßen wurden. Es ist aufschlussreich, die Geschwindigkeit des Boosts zu berechnen, bei der sich die magnetischen und elektrischen Kräfte genau ausgleichen – obwohl Sie die Antwort vielleicht erraten können, wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie studiert haben.

Ich habe diese Frage gerade einem Professor gestellt, und er denkt, dass die Konzentration des Rückstroms unter der Leiterbahn eigentlich nur ein Wechselstromeffekt ist. Die schnell oszillierenden elektrischen und magnetischen Felder induzieren auf der anderen Seite des Leiters einen fiktiven Spiegelstrom, und die Real- und Spiegeladern wirken zusammen als Übertragungsleitung. Das funktioniert aber nur, wenn die Felder schnell genug schwingen – im DC-Limit bewirkt die magnetostatische Abstoßung zwischen Leiterbahn und Rückstrom tatsächlich, dass sich der Rückstrom weit von der Leiterbahn entfernt ausbreitet.