Warum liefert die Energieerhaltung ein falsches Ergebnis?

Der Ansatz, der Ihnen die richtige Antwort gab, war der Force-Ansatz . Lassen Sie uns über den Energieansatz sprechen.

Dies ist ein konservatives System, also können wir die potentielle Energie schreiben$U$als Funktion der resultierenden Kraft auf die Masse$m$, so was:

Oder in Bezug auf den Modul der resultierenden Kraft:

Wo$x$ist der Abstand (positiv unterhalb der Anfangsposition) der Masse$m$von seiner Ausgangsposition (wo beide Federn Länge hatten$d$).

Die Gleichgewichtslage ist gefunden, wenn$F = 0$, Deshalb$\frac{dU}{dx} = 0$also müssen wir nur finden$x$so dass die$U$Funktion hat ein Minimum oder ein Maximum (in diesem Fall wird es ein Minimum sein).

Wenn wir setzen$U_{gravitational} = 0$in der ausgangslage haben wir$U_{gravitational} = -mgx$.

Wir können dann die verwenden$U_{elastic} = k(\sqrt{x^2 + d^2} - d^2)$und deshalb

$U = -mgx + k(\sqrt{x^2 + d^2} - d^2)$

Du musst also nur die Ableitung nehmen$\frac{dU}{dx}$und dies wird eine Gleichung mit einer Lösung ergeben$x_{equilibrium}$. Aber das Problem hat dir schon gesagt, dass dies$x_{equilibrium} = d$, also musst du nur die gefundene Gleichung lösen$k$.

Warum hat Ihr Energieansatz nicht funktioniert?

Ganz einfach: Die potentielle Energie ist in beiden Situationen überhaupt nicht gleich. Es gibt keinen Grund, das zu glauben. Deshalb, wenn Sie die Masse tatsächlich freigeben$m$In diesem Anfangszustand erreicht es die Gleichgewichtsposition mit einer gewissen kinetischen Energie, die durch die Differenz zwischen den potentiellen Energien gegeben ist$U_{equilibrium}$Und$U_{initial}$. Das ist nur Energieerhaltung. Das Teilchen schwingt, wenn es aus dem Anfangszustand gelöst wird.

Im zweiten Fall haben Sie eine falsche Annahme getroffen. Wenn Sie die Masse aus der ungedehnten Position fallen lassen, schießt sie tatsächlich über die Gleichgewichtsposition hinaus und es treten Schwingungen auf. Energie bleibt eigentlich nicht erhalten, wenn man nur die Schwerkraft und die Federkräfte berücksichtigt. Etwas anderes muss Arbeit verrichten, um dem System Energie zu entziehen, damit die Masse im Gleichgewicht ruht. Daher ist Ihr zweiter Versuch falsch.

Warum erhalten wir zwei unterschiedliche Ergebnisse für scheinbar zwei gültige Ansätze zu diesem Problem?

Der Hauptgrund ist, dass die Energieerhaltung keine gültige Methode ist, um die Gleichgewichtsposition zu finden. Energie bleibt in allen Zuständen des Systems erhalten, nicht nur im Gleichgewicht. Der Energieerhaltungssatz gibt also keine Position eindeutig an.

Darüber hinaus führt eine strenge Energieerhaltung für die meisten Anfangszustände eher zu einer Oszillation als zu einem Gleichgewicht. Der Übergang zum Gleichgewicht beinhaltet typischerweise einen Verlust an mechanischer Energie aus dem System.

Wenn die Gesamtenergie beider Zustände gleich wäre, könnten Sie sich ohne Arbeit von einem zum anderen bewegen. Aber Sie müssen Arbeit investieren und die Masse heben, um zwischen den beiden Zuständen zu wechseln. Sie haben nicht die gleiche Energie.

Beim Übergang von der neutralen Position in die Gleichgewichtsposition (durch Loslassen des Gewichts) würde sich die Masse noch bewegen und daher mit KE. Dieses KE geht mit der Zeit durch Reibung verloren.

Ich stimme dem Kommentar von João Vítor G. Lima zu, wenn er sagt, dass Sie das Energieerhaltungsargument nicht richtig verwendet haben. Energieerhaltung gilt für dynamische Systeme. Angenommen, Sie beginnen Ihre Masse im Ruhezustand, wobei die beiden Federn horizontal sind. Die Gravitation zieht die Masse nach unten und eine oszillierende Bewegung um die Gleichgewichtslage beginnt. Immer wenn sich die Masse durch die Gleichgewichtslage bewegt, wird sie kinetische Energie haben. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist zeitlich konstant.

Angenommen, die Schwingung unterliegt Reibung, so dass sie schließlich in der Gleichgewichtsposition zur Ruhe kommt. Dann hat es eine geringere Energie als beim Start, weil Energie durch Reibung vernichtet wurde. Das bedeutet, dass die potentielle Energie des Systems im Zustand mit horizontalen Federn und angehobener Masse zwangsläufig höher ist als die potentielle Energie in der Gleichgewichtslage.

Das System verhält sich im Wesentlichen wie eine einzelne Feder mit einer daran befestigten Masse. Auch dort gilt: Die potentielle Energie der entspannten Feder bei angehobener Masse ist höher als die der Masse in der Gleichgewichtslage und der gespannten Feder.