Warum schmilzt ein Eisstupa 6 Monate lang nicht?

TLDR:

Ein Eisstupa wie der in Ihrem Video schmilzt nicht schnell, weil er riesig ist. Selbst wenn Sie einen Eiswürfel mit gleicher Masse hätten, würde es etwa fünf Monate dauern, bis er schmilzt. Wie bin ich zu diesem Ergebnis gekommen?

Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen der Form ist wichtig, aber die vom Stupa absorbierte Energiemenge ändert sich linear mit seiner Fläche. Als solche,$t_{\text{melt}}\propto \text{area}/ \text{volume}$für ein festes Volumen (und Masse). Im Allgemeinen haben die meisten Shapes diese Zahl in der gleichen Größenordnung, und selbst ein „ineffizienter“ Shape würde bei einem so massiven Maßstab einige Monate halten. Kugeln haben diesen Wert bei$4.8$während Würfel bei 6 sind.

Unten mache ich die Berechnung und zeige, dass mit dem Stupa nichts Mysteriöses passiert. Ich denke, es wäre ein kleiner Wermutstropfen, das im YouTube-Video zu sagen :)

Richtige Lösung:

Im Allgemeinen erfordert die Beantwortung dieser Art von Fragen, dass man über alle ein- und ausgehenden Energieflüsse nachdenkt und sie als Differentialgleichung schreibt. In diesem Fall haben wir zwei Hauptwege der Erwärmung:

1. Konvektive Erwärmung aufgrund des Luftstroms um den Stupa.
2. Absorptive Erwärmung durch Sonnenlicht.

Als Gleichung kann man das schreiben als:

$$\frac{dQ}{dt} = 4\pi R(t)^2k(T_o-T_s) + a\pi R(t)^2 P_{\textit{sun}} = \left(4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}} \right)R(t)^2,$$

Wo$R(t)$ist der Radius der kugelförmigen Stupa (ja, das ist die Annäherung, die wir verwenden werden),$(T_o-T_s)$liegt eine konstante Temperaturdifferenz zwischen außen an$7.5$C und die Schmelzfläche bei$0$C,$a$liegt die Absorption des Eises bei$50\%$Und$P_{\textit{sun}}$beträgt die durchschnittliche Stärke der auf den Stupa auftreffenden Sonnenstrahlen$250 W/m^2$.

Unter der Annahme, dass alle diese Prozesse zeitlich konstant sind und dass alle die Oberfläche der Kugel gleichmäßig schmelzen (in Wirklichkeit kann man vermuten, dass die Oberseite schneller wegschmilzt als die Unterseite).

Die Lösung der Differentialgleichung, bei der die Anfangsbedingung für a$2000$ton stupa entspricht$R(t=0)\approx 8 \text{m}$.

Um die Gleichung zu lösen, müssen wir die Beziehung zwischen finden$\Delta{Q}$Und$R$. Schreiben der infinitesimalen Wärmeübertragung$dQ$erforderlich, um a zu schmelzen$dR$dünne Eisschicht:

$$\frac{dQ}{dR} = 4\pi R^2 \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}},$$

Wo$C_{\textit{lat}}$ist die latente Wärme von Eis und$\rho_{\textit{ice}}$ist die Dichte von Eis. Um Fortschritte zu erzielen, schreibt man die Master-Flussgleichung wie folgt:

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dR}\frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}\frac{dR}{dt} = \left(4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}} \right)R(t)^2.$$

Die obige Gleichung vereinfacht sich zu:

$$\frac{dR}{dt} = \frac{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}}{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}},$$

ergibt die Lösung:

$$R(t) = R(t=0) - \frac{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}}{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}}t.$$

Um die Zeit abzuschätzen, bis die gesamte Kugel schmilzt, setzen wir$R(t_{\text{melt}})=0$, und stellen Sie fest, dass die Kugel schmilzt bei:

$$t_{\text{melt}}= R(t=0)\frac{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}}{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}} \approx 2.3 \text{months}.$$

In vielerlei Hinsicht ist dies die untere Schätzung, wie ich angenommen habe:

1. Eine stabile Temperaturdifferenz zwischen der schmelzenden Außenschicht und der Außenatmosphäre von 7,5 Grad Celsius. In Wirklichkeit wird der durchschnittliche Temperaturgradient geringer sein.
2. Ich bin auch davon ausgegangen, dass die ganze Stupa dabei ist$0$C anfänglich, während es tatsächlich eine niedrigere Temperatur hat und daher mehr Wärme beteiligt sein muss, um es zum Phasenübergang zu bringen.
3. Ich ging von mäßig windiger Umgebung aus$k= 50J/m^2 K$, ohne Wind fällt dies auf$k= 10J/m^2 K$und die Schmelzzeit wird etwa 9 Monate. Es ist ein schwieriger Parameter zu erraten, aber normalerweise liegt er zwischen 10 und 100. Ich habe mich für den Durchschnitt entschieden.

Nichtsdestotrotz zeigt diese Schätzung, dass der Stupa, wie im Video behauptet, für ein paar Monate schmelzen wird . Es ist nicht viel mehr als eine Schätzung der Größenordnung, aber es beweist, dass Sie nicht nach irgendwelchen mysteriösen Effekten jenseits der üblichen Wärmeübertragung suchen müssen.

Referenz für die Auswahl der Temperaturen: Temperaturen in Leh während des ganzen Jahres

OK, es kann länger dauern, aber gehen Sie es einmal durch.

Schauen Sie, der Stupa braucht einen Monat, um sich zu bilden, und kann eine maximale Höhe von etwa erreichen$15$Zu$50\,\mathrm m$und kann bis zu speichern$2$Millionen Liter Wasser, das ist viel .

Wenn wir seine Masse berechnen, wird es dieselbe sein$2$Millionen kg.

So eine große Masse bei etwa$-30\mathrm{°C}$braucht viel Energie, um zu schmelzen und in Strömen zu fließen. Wenn wir rechnen, kann es bis zu 210 Millionen Joule Energie erreichen (mit einigen Näherungen).

Wenn wir jetzt nach der durchschnittlichen Energie der Sonne in Ladakh googeln, erhalten wir Folgendes:

Wir können den Durchschnitt annehmen$6\,\mathrm{kW\,h/m^2/day}$und das bedeutet$250\,\mathrm{J/m^2}$.

Jetzt kommt es auf die gekrümmte Oberfläche an. Sein Radius reicht von$10\,\mathrm{m}$Zu$20\,\mathrm{m}$und Höhe reicht von$20$Zu$50\,\mathrm m$. So können wir die Fläche als Durchschnitt berechnen. Und dann berechnen Sie die Gesamtenergie zum Stupa. Und daraus können wir das Ergebnis erhalten. Ich habe die Berechnungen gemacht und bekommen$180$Tage ungefähr. Die Tage werden ab Januar berechnet, weil es einen Monat dauert, bis sich die Stupas zu einer solchen Höhe gebildet haben.

Der entscheidende Faktor in diesem Fall war also seine Masse und seine Temperatur während der Winter und der restlichen Monate (siehe Abbildung).

Auch die Wärmeabsorption erfolgt durch die warmen Luftströme, die in Ladakh hauptsächlich in den Monaten März bis Mai wehen und auch dazu führen, dass es schmilzt, und nach Berechnungen von Akerai wird es zwei Monate oder länger dauern, bis es vollständig schmilzt.

HINWEIS: Wenn Sie die Daten abfragen, können Sie sie googeln. Ich hoffe es hilft.

Vielen Dank an Akerai, dass Sie mich über meinen Fehler informiert haben.

@Ankit Kumar gibt eine sehr aufschlussreiche Antwort auf die praktische Seite der Phänomene. Ich möchte den theoretischen Grund hinter Herrn Wangchuks Aussage (und eine einfachere Betrachtungsweise) erläutern.

Der Stupa besteht aus Eis, so dass die Wärme von der Sonne (oder heißer Luft) absorbiert und vom Stupa übertragen wird, ist Konduktanz . Nehmen wir an, dass der Stupa Wärme absorbiert$Q$in einer Zeitspanne$t$. Nun wird die in dieser Zeit absorbierte Wärme (Wärmerate) sein:

$$\frac{Q}{t} = k A \frac{T_o - T_i}{d}$$ Wo$A$ist das Gebiet der Stupa,$T_o$ist die Temperatur außerhalb der Stupa und$T_i$ist die Innentemperatur.

Wenn Sie nun die Fläche des Stupa vergrößern, steigt die von ihm in einer bestimmten Zeit absorbierte Wärme.

Sie möchten sicherstellen, dass Sie die im Stupa gespeicherte Eismasse maximieren und die von ihm absorbierte Wärme minimieren. Dies würde dafür sorgen, dass es länger hält. Da die Masse vom Volumen abhängt ($M = \rho V$;$\rho$die Dichte ist), möchten Sie im Grunde das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen so gering wie möglich halten (um eine geringere Oberfläche für Absorption und Leitfähigkeit sicherzustellen und Volumen und Masse zu erhöhen).

Mathematisch gesehen ist das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen das der Kugel (oder, wie Herr Wangchuk sagt, der Halbkugel: Sie wollen keinen riesigen Schneeball bauen :). Aber wenn man bedenkt, wie sie die Eisstupa bauen, macht es Sinn: Sie geben Wasser aus vertikal ausgerichteten Rohren ab, und wenn das Wasser dem kühlen Klima von Ladakh ausgesetzt ist, gefriert es schließlich und bildet einen Kegel.

Der Kegel hat eine Oberfläche von$\pi r l$(ohne Berücksichtigung der kreisförmigen Bodenfläche) und einem Volumen von$\frac{1}{3} \pi r^2 h$; das macht es zu einer der Figuren mit dem niedrigsten Verhältnis von Oberfläche zu Volumen (allerdings nicht so niedrig wie die Kugel).

Zusammenfassend lässt sich sagen: Eis überträgt Wärme, indem es es leitet, und der Weg, die absorbierte und geleitete Wärme zu minimieren, besteht darin, die Oberfläche zu minimieren und die Eismenge zu maximieren, die Sie für das maximale Volumen benötigen. Daher wird eine Form mit weniger Oberfläche für ein großes Volumen, in diesem Fall der Kegel, verwendet. Es liegt nur an den Leitfähigkeitsphänomenen. Dafür braucht man nicht einmal das Stephan-Boltzmann-Gesetz.