Warum sind die Ergebnisse für elektrische und magnetische Feldenergiedichten immer gültig?

Kurze Antwort :

Andererseits. Die Ausdrücke für die an der Oberfläche des Leiters gespeicherte elektrische Energie und die in einem idealen Solenoid gespeicherte magnetische Energie werden beide vom Ausdruck für die Energiedichte abgeleitet$\mathcal U = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0\vec E \cdot \vec E + \frac{1}{\mu_0}\vec B \cdot \vec B\right)$durch ein beliebiges elektromagnetisches Feld , nicht umgekehrt. Der Ausdruck für$\mathcal U$in Bezug auf elektromagnetische Felder ist eine direkte Folge der Maxwell-Gleichungen,

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{1}$$

$$\nabla \cdot \vec B = 0 \tag{2}$$

$$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \tag{3}$$

$$\nabla \times \vec B = \mu_o \vec J + \mu_o\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \tag{4}$$

Die Hauptimplikationen bei jeder Ableitung der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes sind, dass Energie irgendwie aufgewendet werden muss, um ein elektromagnetisches Feld ungleich Null in einem Raumbereich aufzubauen, und dass die aufgewendete Energie letztendlich im Feld selbst gespeichert wird.

Lange Antwort :

Ich habe ein paar verschiedene Möglichkeiten gesehen, die elektromagnetische Feldenergiedichte aus den Grundprinzipien des Elektromagnetismus abzuleiten, aber die Ableitung, mit der ich am vertrautesten und bequemsten bin, verwendet einen feldtheoretischen Ansatz, der an den Inhalt und die praktischen Probleme von Kapitel 2 von Eine Einführung angepasst ist zur Quantenfeldtheorie von Peskin und Schroeder :

Beginnen Sie mit der elektromagnetischen Lagrange-Dichte des freien Raums (dh es sind keine Ladungen oder Ströme vorhanden),

$$\mathcal L\left(A_\mu , \partial_\nu A_\mu\right) = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \tag{5}$$

Wo

$$F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = \left(\begin{matrix}0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right) \tag{6}$$

$$F^{\mu\nu} \equiv \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = \left(\begin{matrix}0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right)$$

sind jeweils die kovariante und kontravariante Form des elektromagnetischen Feldtensors, mit$\partial$der Vier-Gradienten und$A$das elektromagnetische Viererpotential. Die Euler-Lagrange-Gleichungen für dieses Feld sind die Maxwell-Gleichungen im freien Raum,

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \tag{7}$$ $$\partial_{[\mu} F_{\nu\sigma]} = 0 \tag{8}$$

Aufgrund von Symmetrien, die der angegebenen Lagrange-Funktion innewohnen$(5)$, können wir einen Tensor konstruieren $T^{\mu\nu}$, definiert als

$$T^{\mu\nu} \equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial\left(\partial_\mu A_\sigma\right)}\partial_\nu A_\sigma - \mathcal Lg^{\mu\nu} \tag{9}$$

Wo

$$g^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right) \tag{10}$$

die Minkowski-Metrik ist, und dann verwenden$(9)$zusammen mit$(5)$einen symmetrischen Spannungs-Energie-Tensor zu konstruieren$\hat T^{\mu\nu}$:

$$\hat T^{\mu\nu} \equiv T^{\mu\nu} + \partial_\sigma \left(F^{\mu\sigma}A^\nu\right) = \frac{1}{\mu_0}\left(F^{\mu\kappa}F_{\kappa\lambda}g^{\lambda\nu} + \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right) \tag{11}$$

Somit ist die elektromagnetische Feld-Hamilton-Dichte (dh Energiedichte)$\mathcal H$Ist

$$\begin{align} \mathcal H & = \hat T^{00} \\ & = \frac{1}{\mu_0}\left(F^{0\kappa}F_{\kappa\lambda}g^{\lambda 0} + \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right) \\ & = \frac{1}{\mu_0}\left(\frac{\vec E \cdot \vec E}{c^2} + \frac{1}{2} \left(\vec B \cdot \vec B - \frac{\vec E \cdot \vec E}{c^2}\right)\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0\vec E \cdot \vec E + \frac{1}{\mu_0}\vec B \cdot \vec B\right) \end{align} \tag{12}$$

Diese Seite bietet eine ausführlichere Erklärung der obigen Ableitung.