Warum sollten wir die Flugbahnen von Raumfahrzeugen nicht auf statischen Pseudopotentialoberflächen mit Nullgeschwindigkeit darstellen?

Das Pseudopotential / Effektivpotential für das kreisförmig eingeschränkte 3-Körper-Problem ist die Summe aus dem Gravitations- und dem Zentrifugalpotential, vgl. Abb. 1.

$\uparrow$Abb. 1: Die 2D-Orbitalebene mit Äquipotentiallinien und den 5 Lagrange-Punkten . (Aus Wikipedia .)

Der Hauptmangel des verlinkten Videos besteht darin, dass es die Rolle der Coriolis-Kraft nicht erwähnt . Aufgrund der Coriolis-Kraft eine Testmasse$m$(ohne Antrieb) entlang (statt senkrecht zu) Äquipotentiallinien driften! ($\leftarrow$Allein diese Tatsache sorgt dafür, dass das Pseudopotential noch physikalisch relevant ist, vgl. Titelfrage von OP.) Die Drift wird oft mit einer Kreisbewegung mit Winkelgeschwindigkeit überlagert$-2\Omega$, vgl. Abb. 2.

$\uparrow$Abb. 2: Eine mögliche Hufeisenbahn entlang Äquipotentiallinien.$\star$ist die Sonne, während$\bullet$ist Jupiter.

Für eine Ableitung, explizite Formeln und weitere Informationen siehe zB Teil III meiner Phys.SE-Antwort hier und meiner Space.SE-Antwort hier .

TL;DR: Die Coriolis-Kraft erklärt die Stabilität von Lagrange-Punkten$L_4$&$L_5$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Was die Pseudopotentialfläche ist: Ein Diagramm einer 3D-Funktion.
Was die Pseudo-Potential-Oberfläche nicht ist: Ein Hügel, auf dem eine Murmel herumrollen kann.

Die ganze Verwirrung um diese Sache rührt von der Annahme her, dass es sich um eine normale 3D-Oberfläche handelt, die sich genau so verhält, wie Sie es erwarten, wenn Sie eine Murmel darauf fallen lassen.

Dieselbe unsinnige Annahme können Sie bei einem normalen 2D-Graphen machen. Nehmen Sie zum Beispiel das Geschwindigkeitsdiagramm von Voyager 2 . Sie können sich auch eine Murmel vorstellen, die darauf herumrollt und alle möglichen völlig falschen physikalischen Interpretationen daraus zieht, wie "in den Tälern der Schwerkraftunterstützung stecken bleiben" oder "mehr Geschwindigkeit gewinnen, wenn sie von der Sonne bergab rollt".

Die Leute sind daran gewöhnt, dass 2D-Plots nicht so funktionieren. Dass die Pseudo-Potential-Fläche auf den ersten Blick so wirken sollte, ist plausibel , weil sie einige ähnliche Eigenschaften hat: „Stillstand“ erfordert, auf einer „ebenen“ Stelle zu sein. Wenn Sie "bergauf" rollen, werden Sie langsamer, wenn Sie "bergab" fahren, wird Ihre Geschwindigkeit erhöht.

Warum sollten wir nicht die Flugbahnen von Raumfahrzeugen auf diesen statischen Pseudo-Potential-Oberflächen darstellen?

Wir sollten nicht? Ich denke, es ist hervorragend geeignet, um wiederholte Vorbeiflugbahnen und 3-Körper-Umlaufbahnen zu zeichnen. Machen Sie einfach deutlich, dass es sich um einen rotierenden Bezugsrahmen handelt . Rotierende Rahmen sind nicht intuitiv, aber auch nützlich. Vielleicht wäre es besser, einige Lehrvideos mit rotierenden Rahmen zu produzieren, als (falsche) Videos zu einem Thema zu erstellen, das Kenntnisse über rotierende Rahmen erfordert?

Was wird wirklich mit diesen drei Objekten passieren?

Sie würden sich bewegen (oder die beiden wichtigsten sind statisch), nur nicht so, wie Sie es erwarten würden, wenn dies ein buchstäblicher physischer Brunnen wäre. Ein Objekt würde sich gemäß [Satz von Differentialgleichungen] statt [bekannter Satz von Differentialgleichungen] bewegen.

Was passiert mit der Pseudopotentialfläche, sobald sie sich zu bewegen beginnen?

Nichts, da dies ein idealisiertes zirkulär eingeschränktes Dreikörperproblem ist. Vielleicht suchen Sie nach dem tatsächlichen Diagramm der potentiellen Energie eines Zweikörpersystems? Es ist ein trompetenförmiger Brunnen für das Hauptobjekt, mit einem kleineren trompetenförmigen Brunnen, der ihn umkreist ("bewegt") für das sekundäre Objekt. Und im Gegensatz zur Pseudo-Potential-Oberfläche kann man darin Murmeln herumrollen!

Dies sind sowohl Kommentare als auch Antworten, aber sie bieten einige unterschiedliche Perspektiven.
[ Dies wurde basierend auf hilfreichen Hinweisen von @uhoh bearbeitet. Der frühere Kommentar, dass die Gesamtenergie eines Testteilchens erhalten bleibt, war nicht korrekt. ]

1. Chladni-Muster (Sand auf einer vibrierenden Platte).
Bei Anwesenheit von zwei großen Massen in einer kreisförmigen Umlaufbahn ist die Erhaltungsgröße (ähnlich wie Energie) das Jacobi-Integral . Das Jacobi-Integral E _J ist die Summe der potenziellen Energie der Gravitation plus der potenziellen Energie der Zentrifuge plus der kinetischen Energie (wie im rotierenden Rahmen zu sehen). Die Diagramme des Quasipotentials E _P entsprechen der Summe der beiden Potentialterme und lassen die kinetische Energie weg. Da E _J für ein kleines Testteilchen konstant (erhalten) bleibt, ist die kinetische Energie (~Geschwindigkeitsquadrat) die Differenz zwischen dem festen Wert von E _J und der Quasi-Potential-Oberfläche E _P . Wenn also ein Wert für E gegeben ist_J für das Teilchen, seine Geschwindigkeit kann als sqrt(E _J -E _P ) ermittelt werden. Leider ist dies die Geschwindigkeit, nicht die Geschwindigkeit, also hilft es nicht, die Flugbahn zu ermitteln, aber es sagt uns etwas über die Wahrscheinlichkeit aus, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem elementaren Raumvolumen zu finden, ist (unter anderem) umgekehrt proportional zu seiner Geschwindigkeit.

Auf dieser Grundlage entstehen im Sand auf einer vibrierenden Platte deutliche Muster, wie sie erstmals von Ernst Chladni beschrieben wurden . Die Sandkörner nehmen zufällig seitliche Geschwindigkeiten an, die proportional zur Größe der Schwingungen an einem bestimmten Punkt auf der Platte sind. Diese Geschwindigkeiten sind an Knoten in den Schwingungsmoden am kleinsten. Die Wahrscheinlichkeit, Körner zu finden, ist dort am größten, wo ihre lateralen Geschwindigkeiten am geringsten sind – sie verbringen also die meiste Zeit an den Schwingungsknoten ( Bild unten ).

Im Allgemeinen wird die Bewegung unseres Testteilchens chaotisch sein, selbst wenn nur zwei große Massen vorhanden sind. Teilchen haben ihre maximale quasi-potenzielle Energie und ihre niedrigste kinetische Energie im rotierenden Rahmen, wenn sie sich in der Nähe der Punkte L4, L5 befinden. Niedrigste kinetische Energie bedeutet niedrigste Geschwindigkeit. Dies bedeutet, dass das Teilchen die höchste Wahrscheinlichkeit hat, in der Nähe von L4, L5 gefunden zu werden. Dies gilt insbesondere für Teilchen, deren Wert von E _J genau gleich der maximalen Quasi-Energie EP ist ₍ die ihr Maximum bei L4, L5 erreicht). Ihre Geschwindigkeit verlangsamt sich auf null, wenn sie sich den Lagrange-Punkten nähern, und daher ist es fast sicher, dass sie dort gefunden werden .

2. Einfache harmonische Bewegung
Für Situationen, in denen die panetarische Masse viel kleiner als die zentrale Masse ist, existieren die Punkte L4, L5 immer noch, aber die Kräfte von der planetaren Masse werden sehr klein sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass sich das Testteilchen auf einer einfachen keplarischen Umlaufbahn um die zentrale Masse befindet. Angenommen, die Umlaufbahn der Planetenmasse ist kreisförmig - ebenso wie die Umlaufbahnen L4, L5. Angenommen, unser Testteilchen befindet sich auf derselben Umlaufbahn wie L4 oder L5, ist aber leicht gestört. Wir werden es von einem rotierenden Rahmen aus beobachten, der an L4 oder L5 befestigt ist.

Wenn die Störung in der Ebene der Umlaufbahn (immer noch kreisförmig) erfolgt, scheint das Testteilchen in einer einfachen harmonischen Bewegung mit der gleichen Periode wie die Umlaufperiode auf und ab zu oszillieren (senkrecht zur Ebene der Planetenbahn).

Wenn die Störung an der Exzentrizität (immer noch in der Ebene) vorgenommen wird, dann scheint sich das Testteilchen wieder mit einer einfachen harmonischen Bewegung um den Lagrange-Punkt zu bewegen. In diesem Fall wird die Umlaufbahn aufgrund des Coriolis-Effekts eine Ellipse mit Achsen im Verhältnis 2:1 sein (wenn die Störung größer ist, wird die Ellipse "nierenförmig").

Von einem rotierenden Rahmen aus gesehen, der am Lagrange-Punkt befestigt ist, führen also sehr kleine Störungen von einer L4- oder L5-Umlaufbahn dazu, dass ein Teilchen kleine elliptische Umlaufbahnen um L4 oder L5 mit der gleichen Periode macht. Dies sind jedoch keine Kepler-Bahnen. Sie sind Umlaufbahnen mit einfacher harmonischer Bewegung, z. B. wenn die zentrale Kraft proportional zur Entfernung ist (und nicht umgekehrt quadratisch) und das Potential quadratisch ist.

Aus dieser Perspektive gibt es an den Punkten L4, L5 keine äquivalente Punktmasse. Stattdessen können sie lokal als Zentrum einer Sphäre mit konstanter reibungsfreier Massendichte (dunkle Materie!) betrachtet werden, in der diese einfachen harmonischen Umlaufbahnen bestehen können. Die erforderliche Massendichte ist die Masse des großen zentralen Objekts dividiert durch das Volumen einer Kugel, die die Planetenbahn umschließen würde, M/[(4/3)pi.R ³ ]. Dadurch wird sichergestellt, dass die Periode dieser einfachen harmonischen Bewegungen gleich der Umlaufzeit der Lagrange-Punkte ist