Eigenwerte und Eigenvektoren

Bevor Sie sich speziell mit der Monodromiematrix befassen, ist es wichtig sicherzustellen, dass Sie ein physikalisches Verständnis dafür haben, was Eigenwerte und Eigenvektoren im Allgemeinen darstellen. Ich empfehle das YouTube-Video von 3blue1brown zu diesem Thema:

Ich werde die wichtigen Punkte unten destillieren.

Betrachten Sie das Zweidimensionale$x-y$der Einfachheit halber mit einem allgemeinen Vektor, der mit bezeichnet ist$\overrightarrow{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$. Wir können eine Matrix anzeigen$A$,

$$\begin{align} A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \end{align}$$ als lineare Transformation, die auf ähnliche Weise operieren kann$\overrightarrow{a}$. Um die Wirkung zu visualisieren$A$hätte an$\overrightarrow{a}$, betrachten Sie die Auswirkung auf die Einheitsvektoren des Koordinatensystems. Im Originalsystem sind die Einheitsvektoren durch eine Linie gegeben, die den Ursprung mit verbindet$\hat{i} = [1 \ 0]$Und$\hat{j} = [0 \ 1]$, bzw. Die erste Spalte von$A$sagt uns die Koordinaten, wo der Einheitsvektor ist$\hat{i}$würde landen, wenn wir die lineare Transformation anwenden, und die zweite Spalte gibt uns die gleichen Koordinaten an, die mit der Transformation verbunden sind$\hat{j}$. (Überprüfen Sie als Plausibilitätsprüfung im Geiste, ob dies mit der Identitätsmatrix übereinstimmt, die den ursprünglichen Vektor zurückgibt, und wie jeder Skalar$k$multipliziert in die Identitätsmatrix hat den einfachen Effekt, dass der ursprüngliche Vektor gestreckt wird.)

Warum ist das wichtig? Nun, es gibt uns eine Möglichkeit zu visualisieren, was mit einem beliebigen Vektor passiert, wie z$\overrightarrow{a}$wenn wir die lineare Transformation anwenden$A$. Der$x$Und$y$Koordinaten von$\overrightarrow{a}$entsprechend wie gedreht und/oder gedehnt werden$A$dreht und dehnt die Einheitsvektoren des Systems (Sie können sich das vorstellen, als würde der 2D-Raum selbst gedreht/gedehnt). Betrachten wir nun einen Spezialfall dessen, was passieren könnte. Aufgrund der besonderen Art und Weise, wie eine lineare Transformation den 2D-Raum dreht und/oder zusammenzieht, können bestimmte Vektoren existieren, die sich am Ende nur ausdehnen oder zusammenziehen, ohne ihre Richtung zu ändern. Ein offensichtliches Beispiel ist der zuvor erwähnte Fall: die mit einem Skalar multiplizierte Identitätsmatrix, die wir uns leicht als Streckung des Vektors vorstellen können, auf dem sie operiert. Andere Fälle sind schwieriger zu visualisieren, aber sie können alle durch die folgende Beziehung beschrieben werden

$$\begin{align} A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} \end{align}$$ Was dies sagt, ist, dass, wenn die lineare Transformation auf einem Vektor operiert$\overrightarrow{v}$, wird der Vektor um einen gewissen Faktor entlang der Richtung gestreckt, in die er bereits zeigt$\lambda$. Für eine bestimmte Transformation nennen wir die Menge der Vektoren$\overrightarrow{v}$die dieses Verhalten aufweisen, Eigenvektoren , und wir nennen den Faktor, um den sie gestreckt werden$(\lambda)$die den Vektoren entsprechenden Eigenwerte .

Die Zustandsübergangsmatrix

Sie haben die Monodromie-Matrix korrekt definiert. Es lohnt sich jedoch, sich eine Minute Zeit zu nehmen, um sich daran zu erinnern, woher die State Transition Matrix (STM) stammt und was sie darstellt. Nichtlineare ODEs können nämlich teuer zu berechnen sein. Wenn wir für den Zustand im Laufe der Zeit auflösen,$\overrightarrow{X}(t)$, resultierend aus einer bestimmten Anfangsbedingung,$\overrightarrow{X}_0$, wäre es schön, wenn es möglich wäre, näherungsweise nach dem wie zu lösen$\overrightarrow{X}(t)$Änderungen aufgrund von Störungen zu$\overrightarrow{X}_0$, ohne die nichtlineare ODE erneut zu lösen. (Hier kann man davon ausgehen$\overrightarrow{X}$bezeichnet die Position + Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs). Wenn wir eine Taylor-Reihe für einen zukünftigen Punkt nehmen,$\overrightarrow{X}_f$, als eine Funktion des Anfangspunktes, der einer kleinen Störung unterliegt, die mit bezeichnet ist$\delta \overrightarrow{X}_0$, wir haben

$$\begin{align} \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0 + \delta \overrightarrow{X}_0) = \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0) + \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 + \frac{1}{2} \delta \overrightarrow{X}_0^T \frac{\partial^2 \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0^2} \delta \overrightarrow{X}_0 + \cdots \end{align}$$ Um eine Linearisierung zu definieren, schneiden wir alle Terme nach dem ersten ab. Dann ist der gestörte Endzustand gegeben durch $$\begin{align} \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0 + \delta \overrightarrow{X}_0) - \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0) = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 \\ \delta \overrightarrow{X}_F = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 \end{align}$$ Mit anderen Worten, eine Störung im Anfangszustand wird durch diese Matrix, die wir Zustandsübergangsmatrix nennen, zu einer Störung im Endzustand propagiert. $$\begin{align} \Phi(t_f,t_0) = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \end{align}$$ dessen Name jetzt intuitiv Sinn macht. Wenn wir eine kleine Störung zur Zeit modellieren$t=t_0$, dann können wir es vorwärts propagieren und die resultierende Störung bei approximieren$t=t_f$(Für kleine Änderungen ist dies eine gute Näherung).

Die Monodromie-Matrix

Wie Sie in der Frage identifizieren, die Monodromie-Matrix$M$ist die State Transition Matrix (STM)$\Phi$nach einer Umlaufzeit. Mit anderen Worten, bei einer Störung an einem bestimmten Punkt einer Umlaufbahn sagt uns die Monodromie-Matrix die Auswirkung dieser Störung eine Periode später. Jetzt können wir beginnen, Ihre Frage tatsächlich zu beantworten. Lassen Sie uns zunächst Folgendes ansprechen: „Wie lautet die physikalische Interpretation der Eigenvektoren und Eigenwerte der Monodromiematrix?“

Wie zuvor für die allgemeine lineare Transformation diskutiert$A$, sagen uns seine Eigenvektoren, unter welchen Vektoren/Richtungen, falls vorhanden, rein expandiert oder kontrahiert wird$A$, und die Eigenwerte geben an, um wie viel. Im Zusammenhang mit der Monodromie-Matrix stellen die Eigenvektoren dasselbe dar. Mit anderen Worten, die Eigenvektoren beschreiben Richtungen, entlang denen eine angewendete Störung skaliert . Abhängig vom Eigenwert wächst eine Störung, die in der durch den Eigenvektor angegebenen Richtung angewendet wird, entweder ($\lvert \lambda \rvert > 1$), dämpfen ($\lvert \lambda \rvert < 1$) oder gleich bleiben ($\lvert \lambda \rvert = 1$). Während es insgesamt 6 Eigenvektoren/Eigenwerte gibt, kann für das CRTBP gezeigt werden, dass zwei komplex sind und von den verbleibenden vier reellwertigen die Eigenwerte in reziproken Paaren existieren, wobei ein Paar einfach eine Einheit ist. Daher interessieren wir uns hauptsächlich für das verbleibende Paar von Eigenwerten,$\lambda_1$Und$\lambda_2 = 1/\lambda_1$. Da es sich um ein reziprokes Paar handelt, gibt es sowohl eine Wachstumsrichtung als auch eine Kontraktionsrichtung, wenn der Eigenwert nicht Eins ist. Wenn die Störung mit der Zeit dämpft, bezeichnen wir die Richtung als stabil; wohingegen, wenn die Störung wächst, dann betrachten wir die Richtung als instabil. Stabile und instabile Richtungen existieren natürlich paarweise im CRTBP.

Invariante Mannigfaltigkeiten

Der nächste Teil Ihrer Frage fragt, wie Eigenvektoren zu den invarianten Mannigfaltigkeiten in einer Halo-Umlaufbahn führen. Nachdem wir nun verstehen, wie die Eigenvektoren stabilen / instabilen Richtungen entsprechen, können wir diesen Teil Ihrer Frage ansprechen. Anstatt eine "Lehrbuchdefinition" von invarianten Mannigfaltigkeiten zu geben, lassen Sie uns ein paar Tatsachen nennen, die wir jetzt über jedes Beispiel einer Halo-Umlaufbahn verstehen, und wir werden sehen, dass die Bedeutung von invarianten Mannigfaltigkeiten natürlich herausfällt.

Stellen Sie sich ein Raumschiff vor, das eine instabile Halo-Referenzbahn durchquert (mit instabil meinen wir nur, dass die Eigenwerte der Monodromie-Matrix nicht alle eins sind). Wir wissen jetzt, dass es an jedem Punkt dieser Umlaufbahn eine stabile und eine instabile Richtung gibt. Wenn wir an jedem Punkt der Umlaufbahn eine Störung in der instabilen Richtung anwenden, könnten wir eine „Familie“ von Trajektorien erzeugen, die exponentiell von der Referenzumlaufbahn abweichen, indem sie sich in der Zeit vorwärts ausbreiten. Beachten Sie, dass eine Reise "in der Zeit rückwärts" entlang einer dieser instabilen Flugbahnen sich der Referenz-Halo-Umlaufbahn nähern würde.

Was wäre, wenn wir die Trajektorien identifizieren wollten, die sich der Referenzbahn zeitlich vorwärts nähern würden? In diesem Fall könnten wir eine Störung in der stabilen Richtung betrachten und uns dann zeitlich rückwärts ausbreiten. Nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um darüber nachzudenken, wenn es seltsam klingt. Der Grund, warum wir uns in der Zeit rückwärts ausbreiten, ist, dass es uns Beispielpfade zeigt, auf denen ein Raumschiff platziert werden könnte, um sich der Referenzbahn in einem stabilen Sinne zu nähern (denken Sie daran, dass die Störung gedämpft wird, wenn sie in diese Richtung angewendet wird).

Wir nennen die Menge aller Trajektorien, die zeitlich vorwärts auf der Referenzbahn ankommen, ihre stabile Mannigfaltigkeit, und wir nennen die Menge aller Trajektorien, die zeitlich rückwärts ankommen, ihre instabile Mannigfaltigkeit (da sie zeitlich vorwärts abfliegen). Daher sehen wir, dass die Eigenvektoren der Monodromie-Matrix verwendet werden können, um die invarianten Mannigfaltigkeiten für eine bestimmte periodische Umlaufbahn zu berechnen. Darüber hinaus können wir beginnen, die Motivation hinter der Verwendung stabiler/instabiler Verteiler für die Trajektoriengestaltung im CRTBP besser zu verstehen. Instabile und stabile Verteiler bieten natürliche Mechanismen für den Übergang zu und von periodischen Umlaufbahnen, was eine Philosophie zum Entwerfen effizienter Trajektorien zwischen verschiedenen Umlaufbahnen nahelegt.