Gibt es einige Drei-Körper-Umlaufbahnen, denen man nicht entkommen kann? Können wir es wissen, ohne uns für immer fortzupflanzen?

Hier stellen sich eigentlich zwei Fragen:

1. Gibt es$n$-Körpersysteme mit Langzeitstabilität?
2. Kann a priori gezeigt werden, dass ein dritter Körper (massiv oder nicht) begrenzt wird oder entkommt – ohne auf numerische Simulation zurückzugreifen?

1. Stabilität von$n$-Körper Systeme

Das ist allgemein bekannt$n$-Körpersysteme sind "chaotisch", wenn$n>2$. Dies muss jedoch mathematisch entpackt werden, um nützlich zu sein.

Es gibt mehrere grundlegende Fälle:

• In einem stabilen System kehrt das Verhalten selbst bei kleinen Störkräften in das gleiche Gleichgewicht zurück.
  • In einem metastabilen System ist das Verhalten stabil, aber nicht auf dem niedrigstmöglichen Energieniveau (für eine problemspezifische Definition von "Energie").
• In einem neutralstabilen System wird das Langzeitverhalten durch kleine Störkräfte verändert, aber dieser Verhaltensunterschied bleibt gering.
• In einem instabilen System wird das Langzeitverhalten des Systems stark durch Störungen beeinflusst. Kleine Änderungen bewirken große Unterschiede im Langzeitverhalten.

Eine wirkliche Diskussion über nichtlineare Dynamik würde den Rahmen sprengen (wenn Sie eine wollen, empfehle ich wärmstens Nonlinear Dynamics and Chaos von Strogatz), aber grob gesagt ist ein "chaotisches" System ein instabiles System. Instabile Systeme neigen jedoch auch dazu, zumindest einige neutral stabile Regionen zu haben. Viele haben auch stabile Regionen. Zum Beispiel wird im Allgemeinen das Mandelbrot-Set (vielleicht das kanonische chaotische System) iteriert$z_n:=z_{n-1}^2+c, ~~z_0=c$ist chaotisch. Es gibt jedoch viele stabile und neutralstabile Fälle (z. B. trivialerweise$c:=0$).

Nun, da wir wissen, wovon wir reden, was ist mit der Stabilität von$n$-Körper Systeme? Wir wissen aus jahrhundertelanger Forschung, dass sie chaotisch sind, aber sind sie immer instabil?

Ein kurzes Nachdenken wird das offenbaren$n$-Körpersysteme haben einige Elemente neutraler Stabilität: Störungen in Planetenbahnen sind reichlich vorhanden, aber die Planeten werden weder ins Unendliche geschleudert, noch stürzen sie ständig in die Sonne! Diese Störungen haben jedoch langfristige Auswirkungen: Tatsächlich ziehen Astrophysiker Rückschlüsse auf die Planetenwissenschaft, indem sie Hinweise auf alte Störungen lesen, die in Veränderungen von Umlaufbahnen geschrieben sind, die heute noch bestehen.

Was uns das sagt, ist das$n$-Körpersysteme sind instabil, mit Regionen neutraler Stabilität . Orbits sind grundsätzlich chaotisch , aber in manchen Situationen kann das Verhalten vorhersehbarer sein (obwohl es immer noch kleinen langfristigen Änderungen durch kleine Störungen unterliegt).

2. Bleibt [eine Anfangsbedingung] beschränkt?

Die mathematischen Techniken, um diese Frage definitiv pauschal zu beantworten, existieren nicht. Tatsächlich wird angenommen, dass die Charakterisierung des Langzeitverhaltens chaotischer Systeme jenseits grober Stabilität eigentlich unmöglich ist. Beispielsweise gibt es keinen möglichen Finite-Time-Algorithmus, um das Langzeitverhalten eines beliebigen Objekts korrekt vorherzusagen$c$im obigen Beispiel der Mandelbrot-Menge in allen Fällen – eine Folge von$z_k$s, die passenderweise "Orbits" genannt werden.

Dies ist jedoch defätistisch, und es wäre irreführend zu sagen, dass nichts getan werden kann.

Der einfache Fall ist die Betrachtung der gesamten Orbitalenergie. Dies ist unveränderlich, wobei Kollisionen und äußere Kräfte vernachlässigt werden. Für den Zwei-Körper-Fall kann es in der berühmten Vis-Viva-Gleichung ausgedrückt werden , aber die Energieerhaltung gilt auch für eine beliebige Anzahl von Körpern.

Eine ausreichende Bedingung dafür, dass das System begrenzt bleibt, besteht darin, sich vorzustellen, was passieren würde, wenn ein Körper irgendwie die gesamte Orbitalenergie erhalten würde (stellen Sie sich vor: alle Punkte am Ursprung; alle Körper außer einem bewegungslos). Wenn die Orbitalenergie dieses Körpers geringer ist als die Gravitationsbindungsenergie, die ihn an den Rest des Systems bindet, und dies gilt für jeden so ausgewählten Körper, dann kann kein Körper entkommen, und das System bleibt begrenzt. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht: Selbst wenn ein Körper entweichen könnte, bedeutet dies nicht, dass das System unbedingt unbegrenzt ist.

Um diesen Fall zu analysieren, wenden wir uns einigen Sonderfällen zu , die im Laufe der Jahre ausgeheckt wurden.

Die meisten Konfigurationen, wie z. B. die zentrale Konfiguration , sind instabil: die geringste Störung, und das System entwickelt sich zu einem instabilen Verhalten. Während das langfristige Verhalten eines einzelnen Elements in einem chaotischen System in einer Region der Instabilität nicht allgemein vorhergesagt werden kann – das bedeutet „chaotisch“ schließlich –, ist es schwierig zu sagen, was passieren wird. In der Praxis scheint es jedoch so zu sein, dass Körper schließlich ausgeworfen werden, bis nur noch zwei (oder einer) übrig bleiben.

Heuristisch macht dies einen gewissen Sinn. Die Schwerkraft unterstützt die Übertragung von Energie von einem Körper auf einen anderen; da die Umlaufbahnen im Wesentlichen unvorhersehbar sind (sprich: "zufällig" -ish) in einem$n$-Körper-Systems teilen sich die Körper die verfügbare Energie praktisch zufällig auf, bis einer von ihnen gerade genug Energie bekommt, um der Bindungsenergie der anderen zu entkommen. Das System wird manchmal durch Regionen neutraler Stabilität (wie derzeit unser Sonnensystem) wandern, die relativ langlebig sein können, aber schließlich instabil werden. Das ist kein Beweis, aber es beschreibt das qualitative Verhalten der meisten$n$-Körpersysteme (und ist die Motivation für die oben genannte hinreichende Bedingung für Begrenztheit).

Es gibt jedoch einige andere Konfigurationen, wie z. B. die Figur-8-Konfiguration, die innerhalb einer kleinen Region tatsächlich (meta)stabil sind:

                                                                 ^{(Standbild aus Animation unter obigem Link)}

Theoretisch ist diese Umlaufbahn für immer stabil und würde niemals ein chaotisches Verhalten zeigen, es sei denn, sie würde von außen gestört – und erheblich gestört.

Abschluss

Also, TL;DR: Es gibt ein paar Beispiele für Dreikörpersysteme, die (meta)stabil sind (dh über lange Zeiträume resistent gegen kleine Störungen). In den meisten Fällen sind jedoch Dreikörper (bzw$n$-Körper)-Systeme sind bestenfalls neutral stabil (dh kleine Störungen haben anhaltende, aber nicht destabilisierende Wirkungen) und für die meisten Anfangsbedingungen instabil (dh kleine Störungen haben lang anhaltende dramatische Auswirkungen), wobei erstere schließlich zu letzteren werden .

Für Begrenztheitsfragen reicht über die einfache Analyse der Orbitalenergie hinaus das Wissen, dass ein System instabil ist, nicht aus, um zu sagen, dass es unbegrenzt ist (obwohl es wahrscheinlich ist).

Das Verhalten solcher Systeme darüber hinaus zu charakterisieren liegt im Allgemeinen irgendwo zwischen „unserem Wissen entzogen“ und „eigentlich unmöglich“.

Nehmen Sie drei Punktmassen, Newtonsche Gravitation und keine Verluste an.

Wenn wir auch keine Störungen anderer Art und perfekte Platzierung der Körper in den Anfangsbedingungen annehmen können, dann ist eine 3-Körper- Klemperer-Rosette – drei Körper gleicher Masse, in einem gleichseitigen Dreieck, mit beliebigen rotationssymmetrischen Anfangsgeschwindigkeiten bequem unterhalb der baryzentrischen Fluchtgeschwindigkeit – sollte stabil bleiben.

Ich glaube, dass bei gegebenen Punktmassen, infinitesimalen Störungen und unendlicher Zeit alle Konfigurationen zur Flucht führen müssen, aber ein Partnerpaar, das eng umkreist, plus ein dritter, der weit entfernt umkreist, kann sich über extrem lange Zeiträume wie zwei unabhängige 2-Körper-Probleme verhalten.