Warum verhalten sich Elektronen in Graphen in der Nähe der Dirac-Punkte wie Dirac-Fermionen?

Ich habe etwas über Graphen gelernt und kürzlich die Bandstruktur dafür berechnet, indem ich ein enges Bindungsmodell für den nächsten Nachbarn verwendet habe π Elektronen:

ε ( k → ) = ± t 3 + 2 cos ⁡ ( 3 k x 2 − 3 k j 2 ) + 2 cos ⁡ ( 3 k x 2 + 3 k j 2 ) + 2 cos ⁡ ( 3 k x )

Mir wurde gesagt, dass die Streuung von Graphen um die Dirac-Punkte (Punkte in k -Raum wo ε ( k → ) = 0 -- das sind die Eckpunkte der Brillouin-Zone) ist linear, und diese Linearität führt dazu, dass sich das Teilchen wie ein Dirac-Fermion verhält. Ich habe die Linearität teilweise bestätigt, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll, um den zweiten Teil zu überprüfen.

Wikipedia erwähnt auch Folgendes:

Bereits 1947 erkannte PR Wallace, dass die E-k-Beziehung für niedrige Energien in der Nähe der sechs Ecken der zweidimensionalen hexagonalen Brillouin-Zone linear ist, was zu einer effektiven Masse von null für Elektronen und Löcher führt. Aufgrund dieser linearen (oder „konischen“) Dispersionsbeziehung bei niedrigen Energien verhalten sich Elektronen und Löcher in der Nähe dieser sechs Punkte, von denen zwei nicht äquivalent sind, wie relativistische Teilchen, die durch die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Teilchen beschrieben werden Elektronen und Löcher heißen Dirac-Fermionen, auch Graphinos genannt, und die sechs Ecken der Brillouin-Zone heißen Dirac-Punkte.

Könnte jemand erklären, wie ein lokal konischer ϵ ( k → ) Graph führt zu einem Dirac-Fermion? Ich selbst habe noch nicht mit der Dirac-Gleichung gearbeitet.

Antworten (1)

Bei der Berechnung der Elektronendispersion haben Sie wahrscheinlich den diagonalisierten Hamilton-Operator im Impulsraum erhalten

H = ∑ k [ c k EIN † , c k B † ] [ 0 Δ ( k ) Δ † ( k ) 0 ] [ c k EIN c k B ] .

Wenn Sie sich für Ihre entschieden haben x Achse entlang der Zickzackrichtung (arXiv:1004.3396), sind die beiden nicht äquivalenten Dirac-Täler K κ = ( κ 4 π 3 3 a , 0 ) , κ = ± 1 und K − 1 = K ' , wo a ist die CC-Distanz. Dann Δ ( k ) = − t ( 1 + e − ich k ⋅ a 1 + e − ich k ⋅ a 2 ) , wo t ist der Hopping-Term, und a 1 = ( 3 a / 2 , 3 a / 2 ) und a 2 = ( − 3 a / 2 , 3 a / 2 ) sind die Gittervektoren.

Taylor expandiert Δ ( k ) bis zu linearen Termen um diese beiden Punkte, die Sie erhalten

Δ ( k ) = κ 3 t a 2 q x − ich 3 t a 2 q j

wo q ist der Verschiebungsimpuls aus der K κ Punkt. Wenn Sie diese Verschiebungsimpulse zu Operatoren umwandeln, erhalten Sie den Hamilton-Operator

H = ℏ v F [ 0 q x − ich q j 0 0 q x + ich q j 0 0 0 0 0 0 − q x − ich q j 0 0 − q x + ich q j 0 ]

wo v F = 3 t a 2 ℏ ist die Fermigeschwindigkeit. Das ist in [ Ψ EIN K , Ψ B K , Ψ EIN K ' , Ψ B K ' ] T Basis, wenn Sie Ihre Basis als neu anordnen [ Ψ EIN K , Ψ B K , Ψ B K ' , Ψ EIN K ' ] T Sie erhalten die kompakte Form

H = ℏ v F τ z ⊗ σ ⋅ k

wo τ z wirkt im Talraum. Dies ähnelt der Dirac-Weyl-Gleichung für relativistische masselose Teilchen, wobei statt v F Sie erhalten die Lichtgeschwindigkeit

H = ± ℏ c σ ⋅ k

wo + bezeichnet rechtshändige Antineutrien, und − bezeichnet linkshändige Neutrionen. Die Unterschiede sind das σ = ( σ x , σ j ) für Graphen wirkt im Pseudospin-Raum und σ = ( σ x , σ j , σ z ) für Neutrinos wirkt im realen Spinraum.

Interessant ... Ich verstehe nicht alle Begriffe hier, aber ich habe Material in der Hand, das es zu erklären scheint. Mein Hauptproblem war, dass ich das Ergebnis nicht mit der Dirac-Gleichung in Einklang bringen konnte (und ich hatte noch nichts von der Dirac-Weyl-Gleichung gehört). Vielen Dank!
Warum verhalten sich Elektronen in Graphen in der Nähe der Dirac-Punkte wie Dirac-Fermionen?
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