Warum verwendet die Differentialwellengleichung von EM in Dielektrika die Permittivität und Permeabilität des Vakuums?

Ich habe ein grundlegendes Buch gelesen, um zu verstehen, wie man die Wellengleichung des Lichts aus den Maxwell-Gleichungen ableitet, aber diese Gleichungen verwenden die Permittivität und Permeabilität des Vakuums.

Die Bücher sagen Ihnen normalerweise, dass diese Konstanten durch die spezifischen des Mediums ersetzt werden sollten. Aber wenn ich anfange zu lesen, wie man das Verhalten einer EM-Welle in einem Dielektrikum (isotrop) ableitet, beginnen sie mit der von Maxwell abgeleiteten Differentialwellengleichung, aber mit den Vakuumkonstanten.

∇ 2 E − ϵ 0 μ 0 ∂ E ∂ T 2 = μ 0 ∂ 2 P ∂ T 2

Gibt es dafür einen Grund? Wenn Sie am Ende einige Schritte mit den vorherigen Gleichungen machen, um den Brechungsindex des Dielektrikums zu erhalten, erhalten Sie als einen davon das ε des Vakuums (ist das richtig?).

N ~ = 1 + N e 2 M e ϵ 0 ( w 0 2 − w 2 + ich γ w )

Und auch die Wellenzahl (k) wird in Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (c) als ak = nw / c sein, aber wenn wir vom ersten Moment an (in der Differentialwellengleichung) die Permittivität und Permeabilität der verwenden Material erhalten wir am Ende k=nw/v, wobei v die Geschwindigkeit der Welle im Material ist (ist das nicht richtig?)

Ich weiß, dass ich etwas (in Bezug auf die Theorie) nicht berücksichtige, aber ich kann nicht herausfinden, was es ist.

Hallo, willkommen bei Physics SE! Bitte posten Sie Formeln nicht als Bilder oder einfachen Text, sondern verwenden Sie stattdessen MathJax. MathJax ist für Menschen auf allen Geräten einfach zu lesen und kann auf verschiedenen Bildschirmgrößen und Auflösungen klarer angezeigt werden. Ich habe es hier als Beispiel bearbeitet. Sehen Sie sich diesen Meta-Beitrag zu Math SE an , um ein kurzes Tutorial zu erhalten.
Großartig, ich wusste, dass da etwas sein sollte, wusste aber nicht wie. Vielen Dank

Antworten (1)

Grundsätzlich können Sie immer die vakuum- (oder mikroskopischen) Maxwell-Gleichungen verwenden. Es gibt keine theoretische Notwendigkeit für die makroskopischen Maxwell-Gleichungen (die mit den dielektrischen Konstanten des Materials). Die Konsequenz ist jedoch, dass Sie alle Ladungen innerhalb Ihres Systems explizit in Ihre Berechnung einbeziehen müssen, zB wenn Sie die Ausbreitung von Licht durch Glas beschreiben wollen, müssen Sie alle positiven und negativen Ladungen (Kerne und Elektronen) einbeziehen, aus denen sie bestehen das Glas.

Das ist ziemlich umständlich und ineffektiv und deshalb wurden die makroskopischen Maxwell-Gleichungen eingeführt. Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen basieren auf der Polarisation P und Magnetisierung M , die das effektive Verhalten einer insgesamt neutralen Gebührenerhebung beschreiben. Diese Ladungen können (und müssen) aus der expliziten Berechnung verworfen werden und gehen nur durch ihre Polarisation und Magnetisierung ein. Die gleichung

∇ 2 E − ϵ 0 μ 0 ∂ E ∂ T 2 = μ 0 ∂ 2 P ∂ T 2

Sie haben also bereits eine makroskopische Gleichung angegeben und beinhalten implizit die relative Permittivität und Permeabilität. Die Permittivität geht explizit ein, wenn wir die typische Annahme verwenden, dass die Polarisation des Materials linear vom äußeren elektrischen Feld abhängt. Dann

P = χ e ε 0 E

∇ 2 E − ϵ 0 μ 0 ∂ E ∂ T 2 = μ 0 ε 0 χ e ∂ 2 E ∂ T 2
∇ 2 E − ϵ 0 μ 0 ( 1 − χ e ) ⏟ ε R ∂ E ∂ T 2 = 0

Um es zusammenzufassen: Die makroskopische Maxwell-Gleichung mit der relativen Permittivität und Permeabilität erlaubt es, einen Teil des Systems von der expliziten Berechnung auszuschließen, indem ihr effektives Verhalten innerhalb der Polarisation und Magnetisierung gekapselt wird. Im Beispiel mit Licht im Glas bedeutet dies, dass wir die Maxwell-Gleichungen so anwenden können, als ob keine Ladungen vorhanden, dh gesetzt wären ρ = 0 , J = 0 . Lediglich die Permittivität und Permeabilität werden verändert.

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