Warum werden reine Töne als Sinuswellen dargestellt?

Ich werde nur die Frage "Was ist mit Tangenten oder anderen Funktionen" beantworten, da der Rest ziemlich gut gehandhabt zu sein scheint.

Alle Töne, die wir mit einer bestimmten Tonhöhe oder Note hören, können durch eine periodische Funktion dargestellt werden. Wie ich in meinem Kommentar geschrieben habe, stellt jede wiederholte Form eine periodische Funktion dar. Die meisten periodischen Funktionen, sowohl in der realen Welt als auch in der Theorie, sind ziemlich kompliziert, zumindest mathematisch.

Wenn wir die Geräusche, die wir hören, berechnen wollen, müssen wir diese periodischen Funktionen in den Griff bekommen. Was wirklich helfen würde, wäre eine Möglichkeit, sie zu vereinfachen. Wie bereits erwähnt, können wir mit der Fourier-Analyse genau das tun. Wir können eine komplizierte periodische Funktion mit etwas wirklich lästiger Mathematik nehmen und sie in einfachere periodische Funktionen zerlegen, bei denen die Mathematik viel einfacher ist.

Die einfachsten periodischen Funktionen sind Sinus und Cosinus, und sie sind praktisch dasselbe und eng miteinander verwandt. Die Tangente ist eine sehr berühmte periodische Funktion und sehr hilfreich bei der grundlegenden Trigonometrie (wörtlich das Studium von Dreiecken). Tangens hat viele andere Verwendungen, aber die meisten Leute sehen die Tangensfunktion zuerst als eine Möglichkeit, Dreiecke zu analysieren.

Obwohl wir normalerweise gleichzeitig Sinus, Cosinus und Tangens lernen, unterscheidet sich die Tangensfunktion tatsächlich in einigen wichtigen Punkten von Sinus und Cosinus. Es ist nicht durchgehend , was bedeutet, dass Sie nicht viel davon zeichnen können, ohne Ihren Stift aufzuheben und wieder abzulegen. Es ist sogar noch schlimmer, weil es unendlich viele Diskontinuitäten hat (Stellen, an denen man den Stift in die Hand nehmen muss). Beachten Sie, dass dies nicht nur ein starker Kontrast zu Sinus und Cosinus ist, sondern auch zu periodischen Funktionen, die Schallwellen modellieren. Schallwellen sind kontinuierliche Funktionen, wenn wir sie darstellen.

Wenn wir also eine periodische Funktion nehmen und sie in einfache Stücke zerlegen wollen, wollen wir sie nicht in tangentiale Stücke zerlegen. Tangent wird uns nicht helfen, es macht die Dinge eher noch schlimmer. Als Fourier (der Mathematiker, der die Fourier-Analyse erfand) versuchte, periodische Funktionen zu zerlegen, suchte er nach einer Möglichkeit, sie in Sinus und Cosinus umzuwandeln, nicht in irgendeine andere periodische Funktion (und es gibt viele).

Ich könnte mehrere Seiten darüber schreiben, warum Sinus und Cosinus nicht nur einfache periodische Funktionen sind, es gibt sogar die einfachsten möglichen, aber ich glaube nicht, dass dies der beste Ort dafür ist. Lassen Sie mich jedoch kurz sagen, dass ein Kreis vielleicht die einfachste Form ist, und wenn Sie einem Punkt folgen, während er sich um einen Kreis bewegt, zeichnet seine vertikale Bewegung gleichzeitig eine Sinuswelle nach, während seine horizontale Bewegung einen Kosinus nachzeichnet ( Dies hängt davon ab, wo auf dem Kreis der Punkt beginnt, aber einer ist Sinus und der andere Kosinus, oder mindestens einer ist in der Phase um einen Viertelzyklus hinter dem anderen).

Unten ist ein Video davon, und hoffentlich wird Ihnen dies eine Möglichkeit geben zu sehen, wie die Sinuswelle (oder Cosinus, eigentlich dasselbe) die einfachste periodische Funktion ist und daher diejenige, in die wir kompliziertere Funktionen zerlegen wollen, und auch diejenige, die unseren Ohren als die grundlegendste erscheint, wenn wir sie in Klang umwandeln.

Siehe auch die Physikversion dieser Frage mit einer ähnlichen Antwort: https://physics.stackexchange.com/questions/352754/why-cosine-and-sine-functions-are-used-while-representing-a-signal-or -eine Welle

Sinus und Cosinus sind gleich, nur um 90 Grad versetzt. Sie bilden ein „Quadraturpaar“: Addiert man ihre Quadrate, erhält man eine Konstante. Wenn Sie eine Sinuswelle als Darstellung von Audio zeichnen, stellt sie entweder Druck (im Vergleich zu Neutral) an einem "Hörpunkt" oder eine Impulsdichte dar. Beide zusammen bilden wieder ein Quadraturpaar: Quadriert man ihre jeweiligen Größen für ein stationäres Sinusrauschen, erhält man eine Konstante, die die Schallenergiedichte darstellt.

Warum nun Sinuswellen? Einige Leute sagen, das liegt daran, dass man alles aus Sinuswellen zusammensetzen kann, aber das ist ein Zirkelschluss: Fast jede Wellenform kann als Grundlage für die Zerlegung von Signalen verwendet werden: Man kann eine Sinuswelle leicht als Zusammensetzung einer unendlichen Anzahl von Rechteckwellen darstellen genauso wie es möglich ist, das Gegenteil zu tun.

Was Sinuswellen jedoch auszeichnet, ist, dass sie die Eigenfunktionen von linearen zeitinvarianten Systemen sind (die die überwiegende Mehrheit der Systeme sind, die mit Sound arbeiten: jede Umgebung ohne einen losen Snaring-Teil, Verstärker, solange sie nicht übersteuert sind, Verzögerung Schaltungen, Entzerrer und eine Reihe anderer): Wenn Sie solche Systeme mit einer Sinuswelle speisen, ist die Ausgabe eine Sinuswelle mit derselben Frequenz, jedoch möglicherweise mit unterschiedlicher Lautstärke und Phase.

Keine andere Wellenform hat diese Eigenschaft: Rechteckwellen bleiben nicht quadratisch, wenn sie durch solche Systeme geleitet werden, Sägezahnwellen bleiben nicht Sägezahn, Frequenzsweeps mit konstanter Amplitude ändern sich in Sweeps mit unterschiedlicher Amplitude.

Es gibt keine "gedämpfte" Sinuswelle hinter verschlossenen Türen: Sie ist zwar gedämpft, aber ihre Klangqualität ist völlig gleich.

Weil ein Kreis die reinste periodische Form ist:

Jede periodische orthogonale Funktion könnte die Grundlage komplizierterer, "weniger reiner" Klänge (dh Klänge mit vielen Harmonischen) bilden. Siehe Dave Bensons exzellente (und kostenlose!) Music: A Mathematical Offering (Cambridge U. Press), Kap. 2, "Fourier-Theorie".

Ich mag Darrens Anfang sehr und wandele Ihre Frage in "Warum nehmen wir Sinuswellen als reine Töne wahr?"

Wenn die Welle, die sich durch die Luft ausbreitet, das Trommelfell erreicht, vibriert das Trommelfell. Diese Vibration wird auf die drei kleinen Knochen im Mittelohr übertragen. Um es kurz zu machen, der vorletzte Schritt zum Hören besteht darin, dass die Flüssigkeit in dem schneckenförmigen Ding vor- und zurückgeht, genau wie die Luftmoleküle, während die Schallwelle durch die Luft zu Ihrem Ohr ging. Nun, innerhalb des schneckenförmigen Dings gibt es eine große Anzahl kleiner Haare, die am „Boden“ oder der „Wand“ befestigt sind. Sie schwingen mit der Schwingung, die vom Mittelohr übermittelt wird. Sie oszillieren wie eine Sinuswelle - vorwärts und rückwärts, vorwärts und rückwärts.

Die Schwingungsfrequenz führt zu unterschiedlichen Tonhöhen.

Um den beeindruckenden mathematischen Hintergrund zu ergänzen, der in den anderen Antworten dargelegt wird (ein großes Lob an den Link von Geremia), möchte ich meinen eigenen zusammenfassen, um zwei weitere praktische Aspekte zu erhalten:

• Ein Ton wird von unserer Ohr-Gehirn-Kombination in einen Grundton und Obertöne zerlegt. (Dass theoretisch auch andere Zerlegungen möglich sind, spielt daher keine Rolle). Die Obertöne fügen das hinzu, was man Timbre nennt. Offensichtlich erreicht man einen recht reinen Ton, wenn man die Klangfarbe entfernt. Hören Sie für direkte Erfahrungen einen Sinusgenerator, oder ohne diesen, eine Flöte, die dem Sinus ziemlich nahe kommt und im Gegensatz zu einer Klarinette, die weit davon entfernt ist.

• Eine Sinuswelle beschreibt eine harmonische Schwingung. Ich muss jetzt auf eine mechanische Welle zurückgreifen. Eine harmonische Schwingung ist eine ungedämpfte Schwingung, bei der die Rückstellkraft proportional zum Gleichgewichtsversatz ist. Für ein Pendel bedeutet dies proportional zum Winkel zur Vertikalen. Es gibt keine einfachere Formel als die direkte Proportion, daher ist die Sinuswelle die einfachste Welle.