Was bedeutet es, dass ein Hamiltonoperator oder ein System lückenlos oder lückenlos ist?

Mathematisch gesehen ist das eigentlich eine sehr knifflige Frage. Physiker mögen diese Frage für trivial halten. Aber ich brauche eine Stunde in einer Sommerschule für Mathematik, um den Begriff des lückenhaften Hamilton-Operators zu erklären.

Um zu sehen, warum es schwierig ist, betrachten wir die folgenden Aussagen. Jedes physikalische System hat eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden (vorausgesetzt, das Universum ist endlich). Ein solches physikalisches System wird durch eine Hamilton-Matrix mit einer endlichen Dimension beschrieben. Jede Hamilton-Matrix mit einer endlichen Dimension hat ein diskretes Spektrum. Alle physikalischen Systeme (oder alle Hamiltonianer) sind also lückenhaft.

Sicherlich ist das Obige nicht das, was wir in der Physik unter „Happed Hamiltonian“ verstehen. Aber was bedeutet es für einen Hamiltonian, eine Lücke zu haben?

Da ein System mit Lücken an der Grenze lückenlose Anregungen haben kann, müssen wir, um den Hamilton-Operator mit Lücken zu definieren, den Hamilton-Operator auf einen Raum ohne Grenze setzen. Außerdem können Systeme mit bestimmten Größen nicht triviale Anregungen enthalten (z. B. Spin-Flüssigkeitszustand von Spin-1/2-Spins auf einem Gitter mit einer ungeraden Anzahl von Stellen), sodass wir angeben müssen, dass das System eine bestimmte Abfolge von Größen hat wenn wir die thermodynamische Grenze nehmen.

Hier ist also eine Definition von "gapped Hamiltonian" in der Physik: Betrachten Sie ein System auf einem abgeschlossenen Raum, wenn es eine Folge von Größen des Systems gibt$L_i$,$L_i\to\infty$wie$i \to \infty$, so dass die Größe-$L_i$System auf geschlossenem Raum hat die folgende "Lückeneigenschaft", dann wird das System als lückenhaft bezeichnet. Beachten Sie, dass der Begriff "gespaltener Hamilton-Operator" nicht einmal für einen einzelnen Hamilton-Operator definiert werden kann. Es ist eine Eigenschaft einer Hamilton-Folge in der großen Größengrenze.

Hier ist die Definition der "Gap-Eigenschaft": Es gibt eine feste$\Delta$(also unabhängig von$L_i$) so dass die Größe-$L_i$Hamiltonian hat keinen Eigenwert in einem Energiefenster der Größe$\Delta$. Die Anzahl der Eigenzustände unterhalb des Energiefensters hängt nicht davon ab$L_i$, nähert sich die Energieaufspaltung dieser Eigenzustände unterhalb des Energiefensters Null als$L_i\to \infty$.

Die Zahl der Eigenzustände unterhalb des Energiefensters wird zur Grundzustandsentartung des Lückensystems. So wird die Grundzustandsentartung eines topologischen Ordnungszustandes definiert. Ich frage mich, wenn jemand die Definition eines lückenhaften Vielkörpersystems sehr sorgfältig betrachtet hätte, könnte er/sie den Begriff der topologischen Ordnung mathematisch entdecken.

Lückenhaft oder lückenlos ist eine Unterscheidung zwischen kontinuierlichen und diskreten Spektren niederenergetischer Anregungen. Für einen Hamiltonian$H$Bei einem Lückenspektrum hat der erste angeregte Zustand einen Energieeigenwert$E_1$das durch eine Lücke getrennt ist$\Delta > 0$aus dem Grundzustand$E_0$. Zum Beispiel eine Dispersionsrelation der Form$E = |k|$ist ein Beispiel für ein lückenloses (kontinuierliches) Spektrum, wohingegen$E = \sqrt{k^2 + m^2}$ist ein Beispiel für eine Lücke.$k$bezeichnet den Wellenvektor und kann eine beliebige reelle Zahl sein.$m$ist die Masse, die in diesem Fall die Ursache der Lücke ist.

Diese Unterscheidung führt zu einem qualitativen Unterschied im physikalischen Verhalten von Systemen mit und ohne Anzapfung - vor allem bestimmt sie, ob ein Material ein Leiter oder ein Isolator ist. Es gibt ziemlich faszinierende Prozesse, die zu einer Lücke führen können, wie z. B. Wechselwirkungen (interessante Beispiele sind die Massenlücke in der Yang-Mills-Theorie oder die Lücke in der BCS-Supraleitung).

Lückenhaft und lückenlos sind normalerweise Attribute für Vielkörper-Hamiltonianer. Ein Hamiltonoperator mit Lücken ist einfach einer, bei dem zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand eine Lücke ungleich Null besteht.

Eine kurze Anmerkung zum "bearbeiteten" Teil Ihrer Frage (ob in der XX-Kette eine Lücke vorhanden ist oder nicht). Die XX-Spin-Kette in einem Magnetfeld, dh das durch den Hamilton-Operator definierte Modell

ist lückenhaft, wenn$|h| > 1$. Dies ist kein sehr schwieriges Ergebnis, es kommt sofort heraus, wenn Sie die übliche Jordan-Wigner- und eine Fourier-Transformation nach dem berühmten Artikel von Lieb, Schultz und Mattis (Ann. Phys. 16, 407, (1961)) durchführen (obwohl da die$\sigma^{z}_i$Begriffe fehlen, sind aber nicht schwer einzufügen).

Ich möchte diese Antworten angesichts der Bearbeitung der Frage, die "XX Spin Chains" als Kontext für diese Frage einführt, nur ein wenig ergänzen. Ich habe hier ein Tutorial zu Spin Chains gefunden . Im Grunde sind es N Drehungen auf einer Linie. Hier ist der Hamilton-Operator aus dieser Arbeit, bei dem N=2.

$H_{12}=J/4(\sigma_1^x\sigma_2^x+\sigma_1^y\sigma_2^y+\sigma_1^z\sigma_2^z - I \times I)$

Je nach Vorzeichen von J hat diese entweder 3 entartete Grundlösungen, plus eine angeregte Lösung oder eine Grundlösung. Dies ist ein grundlegendes Modell ferromagnetischer/antiferromagnetischer Zustände. In diesem Fall haben die Lösungen eine Lücke. Sie werden immer noch eine Lücke für General N haben.

In neueren Arbeiten sind jedoch viele Entwicklungen dieses weitgehend integrierbaren Modells erfolgt, beispielsweise mit einem angelegten kontinuierlichen Magnetfeld. In einigen dieser Fälle kann das Modell lückenlos sein. Es stellt sich auch die Frage, was das Modell in der thermodynamischen Grenze impliziert$N \rightarrow \infty$.