Was ist der Mechanismus, durch den Magnetfelder wirken?

Magnetfelder wirken niemals direkt auf elektrische Ladungen. Dies liegt daran, dass die magnetische Kraft auf jedes geladene Teilchen,

$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B,}$$ ist immer orthogonal zur Geschwindigkeit und damit zur übertragenen Leistung, $\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$, ist Null.

Andererseits scheint dies einem großen Teil unserer Intuition darüber zu widersprechen, wie sich Magnete verhalten. Wenn Sie zwei Magnete nehmen und sie nahe beieinander platzieren, schnappen sie zusammen und beschleunigen dabei, also gibt es definitiv etwas , das funktioniert. Was dieses Etwas ist, hängt normalerweise davon ab, in welchem ​​Bezugsrahmen Sie arbeiten.

Das Standardbeispiel ist eine Drahtschleife, die sich relativ zu einem Magneten bewegt, wodurch ein Strom darin induziert wird. Wenn Sie die Situation in dem Rahmen betrachten, in dem die Schleife stationär ist, sehen Sie ein sich änderndes Magnetfeld. Nach dem Faradayschen Gesetz bedeutet dies, dass es ein induziertes elektrisches Feld gibt, das Ladungen um die Schleife herum beschleunigt. Andererseits gibt es im Bezugssystem des Magneten nur magnetische Felder, also muss es etwas anderes sein, was sich als die Bewegung der Schleife herausstellt.

Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass sich die Schleife entlang ihrer Normalen bewegt$\mathbf{n}$. Dann haben die Ladungen eine Geschwindigkeit$\mathbf{v}\propto\mathbf{n}$, und die magnetische Kraft gibt ihnen einen Impuls senkrecht dazu und somit entlang der Schleife. Sobald Sie jedoch einen solchen Strom haben, hat die Geschwindigkeit der Ladungen eine Komponente, die orthogonal dazu ist$\mathbf{n}$, und dies wird auch eine magnetische Kraft mit sich bringen, die jetzt mitkommen wird$\mathbf{n}$und dazu neigt, die Schleife zu verlangsamen. Sie erzeugen daher einen Strom auf Kosten der kinetischen Energie der Schleife oder aus der Arbeit einer zusätzlichen Kraft, die die Geschwindigkeit konstant hält. Es gibt eine schöne ausführliche Erklärung dieses Beispiels in Griffiths Einführung in die Elektrodynamik (Beispiel 5.3, Abschnitt 5.1; S. 209 in der 3. ^Auflage ).

Die anziehenden Magnete können in ähnlicher Weise behandelt werden. Zum einen kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Permanentmagnete gegen Stromschleifen austauschen, weil die von ihnen erzeugten Magnetfelder tatsächlich durch Magnetisierungsströme auf ihrer Oberfläche erzeugt werden. Bringt man sie nahe genug an, kommt man zum Kern des Problems, der magnetischen Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Drähten .

Betrachten Sie also zwei parallele Drähte, die Ströme in der gleichen Richtung führen, so dass sie sich anziehen und aufeinander zu bewegen. Auch hier gibt es im Bezugssystem jedes sich bewegenden Drahtes ein elektrisches Feld, das durch ein sich änderndes Magnetfeld induziert wird, und dieses kann Arbeit verrichten. Im Laborrahmen hingegen bewegt sich jeder Draht im Magnetfeld des anderen. Sobald sie sich aufeinander zu bewegen, haben die Ladungen in jedem Draht eine Geschwindigkeitskomponente entlang des Drahts und eine entlang des Trennungsvektors. Die zweite Komponente übt auf die Ladungsträger eine magnetische Kraft aus, die der Stromrichtung entgegengerichtet ist; Dies bedeutet, dass Sie eine Stromquelle benötigen, um ihn stabil zu halten (mit den damit verbundenen Energiekosten), oder der Strom in den Drähten nimmt ab.

Für die Magnete bedeutet dies dann, dass die Magnetisierung zweier Magnete, die zusammenschnappen, dabei tatsächlich leicht abnimmt, und zwar durch einen bestimmten Mechanismus, der davon abhängt, woher diese Magnetisierung kommt. Dies ist übrigens im Prinzip eine vorübergehende Sache: Die Arbeit, die Sie an den Magneten verrichten, wenn Sie sie auseinanderhebeln, dient im Wesentlichen dazu, die Magnetisierung wiederherzustellen.

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Allerdings gilt dies streng genommen nur für geladene Teilchen und im weiteren Sinne für Systeme, die aus geladenen Teilchen aufgebaut sind. Es deckt jedoch nicht den Fall von Punktdipolen wie Elektronen ab, für die die von einem Magnetfeld ausgeübte Grundkraft (und das Drehmoment) unterschiedlich und durch gegeben sind

$$\mathbf F=\nabla(\boldsymbol \mu·\mathbf B) \quad\text{and}\quad \boldsymbol\tau=\boldsymbol \mu\times\mathbf B .$$ Dies lässt Permanentmagnete in einer etwas komischen Position zurück, da sie im Wesentlichen aus ausgerichteten Elektronenspins bestehen, sodass man sich im Prinzip auf diese Beschreibung beziehen sollte.

In einer nützlichen Beschreibung eines Permanentmagneten nimmt man jedoch einen makroskopischen Durchschnitt der lokalen magnetischen Dipoldichte, um seine Magnetisierung zu erhalten$\mathbf M$, und dabei ist es Ihnen egal, woher die Magnetisierung kommt. Soweit es die klassische Elektrodynamik betrifft (und es sei denn, Sie wollen sich mit einzelnen Atomen darin einmischen), ist ein Permanentmagnet einfach ein Material mit einer permanenten Magnetisierung$\mathbf M$, dessen Wechselwirkungen mit anderen Ladungen und Strömen über seine Masse- und Oberflächenmagnetisierungsströme erfolgen ,

$$\mathbf J=\nabla\times\mathbf M \quad\text{and}\quad \mathbf K=\mathbf M \times\hat{\mathbf n} .$$ Wenn die Magnetisierung gleichmäßig ist, gibt es keine Volumenstromdichte (jeder Volumendipol hebt sich von seinen Nachbarn auf) und der Magnetisierungsstrom ist auf die Oberfläche beschränkt. Somit wird ein gleichmäßig magnetisierter Eisenstab durch Magnetisierungsströme auf seiner Oberfläche gut modelliert, und das Magnetarbeitsparadoxon kann auch wie oben aufgelöst werden - durch die Wirkung eines induzierten elektrischen Felds oder durch magnetische Kräfte, die diese Ströme einmal verlangsamen es gibt Bewegung entlang der Schleife normal.

Am Ende ist der Unterschied zwischen den beiden ein bisschen eine Sache der persönlichen Wahl. Es ist im Allgemeinen etwas schwieriger, mit Punktdipolen umzugehen, und es gibt im Allgemeinen wenige Situationen, die nicht mit elektrischen Strömen modelliert werden können, daher ist es gut, diese Modelle und ihre kontraintuitiven Eigenschaften im Hinterkopf zu behalten. Andererseits ist es wahrscheinlich wahr, dass die Physik etwas besser arbeiten könnte, wenn man daran erinnert, dass Magnetfelder niemals direkt auf elektrische Ladungen wirken .

Wie Emilio Pisanty behauptet, die magnetische Lorentzkraft$\boldsymbol{F_m}= q \boldsymbol{v \times B }$funktioniert nicht, da$\boldsymbol{F_m \cdot v} = 0$. Ich habe keinen Zugang zu Griffith, aber ich finde Feynmans Diskussion (in V. II, Kap. 15) verwirrend, da er magnetische Kräfte hat, die am Strom arbeiten, während er gleichzeitig behauptet, dass dieselben Kräfte keine Arbeit leisten.

Um zu sehen, was vor sich geht (zumindest klassisch), betrachten Sie einen idealen, widerstandslosen Draht, der von einer Stromquelle angetrieben wird$I$in einem Magnetfeld$\boldsymbol{B}$. Die jetzige$I$wird von beweglichen Elektronen getragen, deren negative Ladung$q_e<0$wird durch ein festes Gitter aus (viel massiveren) positiv geladenen Drahtionen ausgeglichen$q_w>0$, mit$q_w=-q_e$der Einfachheit halber.

Die sich bewegenden stromdurchflossenen Elektronen des Drahtes (mittlere Geschwindigkeit$\boldsymbol{v_e}$) wird durch die Lorentzkraft abgelenkt$\boldsymbol{F_e} = q_e (\boldsymbol{v_e \times B})$. Folglich neigen die Elektronen dazu, sich auf einer Seite des Drahtes "aufzuhäufen". Die Nettoladungsdichte des Drahtes ist jetzt nicht mehr Null, also ein elektrisches Feld$\boldsymbol{E}$entsteht, die der Auslenkung entgegenwirkt. Im stationären Zustand muss die elektrische Kraft die Lorentzkraft gerade ausgleichen, sodass die Nettokraft auf die Elektronen verschwindet:

$$\boldsymbol{E} = - (\boldsymbol{v_e \times B})$$

(Dies ist nur der Hall-Effekt.)

Nun beschleunigt dieses elektrische Feld die Ionen des Drahtes, da keine entgegenwirkende magnetische Kraft auf sie einwirkt. Tatsächlich wirkt die elektrische Kraft auf die Drahtionen$\boldsymbol{F_w}$ist genau gleich der Magnetkraft$\boldsymbol{F_e}$zu den Elektronen:

$$\boldsymbol{F_w} = q_w \boldsymbol{E} = - q_e \boldsymbol{E} = q_e (\boldsymbol{v_e \times B}) = \boldsymbol{F_e}$$

Der Hauptunterschied besteht darin, dass diese elektrische Kraft am Gitter arbeiten kann und wird.

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Wenn der Draht anfänglich bewegungslos ist ($\boldsymbol{v_w}=0$), die durchschnittliche Elektronengeschwindigkeit$\boldsymbol{v_e}=\boldsymbol{v_c}$, wo$\boldsymbol{v_c}$ist parallel zum Draht (Inkrement$\boldsymbol{dl}$) und

$$|q_e| \, n A_c \, |v_c|=I$$ (mit $n$die Elektronendichte u $A_c$die Drahtquerschnittsfläche),

Dann$\boldsymbol{E=-v_e \times B}$steht senkrecht dazu$d \boldsymbol{l}$, und das Linienintegral von$\boldsymbol{E}$um den Draht ist 0, also ist die angelegte Spannung 0 und die Stromquelle versorgt den Draht nicht mit Strom. Aber das ist nicht überraschend, da die Rate der mechanischen Arbeit, die an jedem Gitterion geleistet wird, gleich ist$\boldsymbol{F_w \cdot v_w}=0$Auch.

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Für eine Drahtgeschwindigkeit ungleich Null$\boldsymbol{v_w}$, die Elektronengeschwindigkeit$\boldsymbol{v_e}=\boldsymbol{v_c}+\boldsymbol{v_w}$, und es wird eine Nicht-Null-Komponente von geben$\boldsymbol{E}$eine lange$\boldsymbol{dl}$:

$$\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dl} = - (\boldsymbol{v_e \times B}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{dl} = - (\boldsymbol{v_w \times B}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{dl}$$

Also die elektrische Leistung$P_e$von der Stromquelle geliefert wird:

$$P_e = VI = I \int -\boldsymbol{E \cdot dl} = I \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot dl}$$

Die mechanische Kraft$P_m$am Draht anliegt, ist die Summe der einzelnen Ionenleistungen:

$$P_m = \sum \boldsymbol{F_w \cdot v_w} = q_m n \int \boldsymbol{E \cdot v_w} \, dV = - q_m n \int \boldsymbol{(v_e \times B) \cdot v_w} \, dV$$

Durch eine Vektoridentität und seitdem$\boldsymbol{v_e = v_c + v_w}$und$q_m = -q_e$,

$$P_m = - q_m n \int \boldsymbol{( B \times v_w) \cdot v_e} \, dV = q_m n \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot v_c} \, dV = I \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot dl}$$

für einen dünnen Draht, und$P_m = P_e$.

Es hängt davon ab, ob. Die allgemeine Regel lautet:

• (ungleichmäßige) Magnetfelder können Arbeit an intrinsischen Dipolen leisten , wie z. B. dem Spin eines Elektrons. Tatsächlich werden im Stern-Gerlach-Experiment Teilchen durch ein ungleichförmiges Magnetfeld beschleunigt. In solchen Fällen ist die Kraft$\textbf{F}=\nabla (\textbf{m} \cdot \textbf{B})$wo$\textbf{m}$ist das magnetische Dipolmoment des intrinsischen Dipols und$\textbf{B}$ist das Feld, in das es eingetaucht ist. Beachten Sie, dass dies eindeutig ein konservatives Kraftfeld ist und wir daher eine potentielle Energie definieren können$U=-\textbf{m}\cdot \textbf{B}$.

• Magnetfelder im Allgemeinen können jedoch keine Arbeit an Systemen leisten, die aus Strömen bestehen . In solchen Fällen ist die Kraft auf die Ströme immer die Lorentz-Kraft, die sich zufälligerweise für einen "physikalischen" Dipol, einen mit einem zugehörigen Strom, als immer noch herausstellt$\textbf{F}=\nabla(\textbf{m}\cdot \textbf{B})$. In diesem Fall steht die Kraft jedoch senkrecht zur Geschwindigkeit der Teilchen, es wird also keine Arbeit verrichtet. Intrinsische Dipole sind davon ausgenommen, da sie per Definition keinen zugehörigen physikalischen Strom haben.

Wenn sich also zwei Magnete anziehen, weil der größte Teil ihres "Magnetismus" aus dem intrinsischen Dipolmoment (Spin) von Elektronen stammt, verrichtet das Magnetfeld tatsächlich Arbeit. Dieses schöne Papier zeigt, dass die Abnahme der Magnetfeldenergie, wenn zwei Magnete zusammenschnappen, durch eine Zunahme der kinetischen Energie zurückgezahlt wird https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/mag_energy.pdf .

Wenn sich jedoch zwei Elektromagnete anziehen, verrichtet das Magnetfeld keine Arbeit. Lassen Sie uns die beiden Elektromagneten als zwei stromführende Schleifen modellieren$I_a$und$I_b$, mit Selbstinduktivitäten$L_a$und$L_b$, und Gegeninduktivität$M$. Angenommen, die obere Schleife mit Strom$I_b$fixiert ist, und zwar nur die untere Schleife mit Strom$I_a$bewegt.

Wie das folgende Diagramm zeigt, ist die anfängliche Magnetkraft senkrecht zum Strom nach oben gerichtet. Es wird nicht gearbeitet. Da die Ladungsträger gezwungen sind, sich im Draht zu bewegen, üben sie eine Kraft (nicht magnetischer Natur) auf den Draht aus. Daher beginnt sich der Draht nach oben zu bewegen.

In dem Moment, in dem sich der Draht nach oben zu bewegen beginnt, erhalten die Ladungen auch eine Geschwindigkeitskomponente$\textbf{v}^\perp$senkrecht zu ihrer ursprünglichen Bewegung. Diese Komponente erzeugt eine horizontale Komponente$\textbf{F}_{mag}^\perp$der magnetischen Kraft, die dem Stromfluss entgegenwirkt. In Abwesenheit einer Quelle nehmen die Ströme dann ab, und die vom Magnetfeld dabei geleistete Arbeit gleicht die von der horizontalen Komponente beim Anheben des Rings geleistete Arbeit genau aus. Daher wird das Magnetfeld keine Arbeit geleistet haben, und natürlich sehen wir dies visuell, weil die Gesamtkraft$\textbf{F}_{mag}$steht tatsächlich senkrecht auf der Gesamtgeschwindigkeit$\textbf{v}$.

Beweisen wir dieses Ergebnis. Die magnetischen Flüsse durch die beiden Schleifen sind:

$$\begin{align} &\Phi_a = L_a I_a + MI_b\\ &\Phi_b = L_b I_b + MI_a \end{align}$$ die in den Schleifen EMK induzieren, die dem Stromfluss entgegenwirken: $$\begin{align} &\varepsilon_a = -L_a \frac{dI_a}{dt} - \frac{dM}{dt}I_b - M\frac{dI_b}{dt}\\ &\varepsilon_b = -L_b \frac{dI_b}{dt} - \frac{dM}{dt}I_a - M\frac{dI_a}{dt} \end{align}$$

In Ermangelung einer externen Energiezufuhr werden wir also feststellen, dass die Ströme abnehmen. Die Geschwindigkeit, mit der diese EMK arbeiten, ist dann:

$$\begin{align} &\frac{dW_a}{dt} = -L_a\frac{dI_a}{dt}I_a - \frac{dM}{dt}I_bI_a - M\frac{dI_b}{dt}I_a\\ &\frac{dW_b}{dt} = -L_b\frac{dI_b}{dt}I_b - \frac{dM}{dt}I_bI_a - M\frac{dI_a}{dt}I_b \end{align}$$ Beachten Sie, dass die Arbeit$dW_b$vollständig auf induzierte elektrische Felder zurückzuführen ist, kommt die EMK aus dem Faradayschen Gesetz. Stattdessen die Arbeit$dW_a$ist aufgrund der sich ändernden Magnetfelder der beiden Schleifen teilweise eine Faraday-EMK (der Begriff$-L_a\frac{dI_a}{dt}I_a- M\frac{dI_b}{dt}I_a$) und teilweise eine Bewegungs-EMK$-\frac{dM}{dt}I_bI_a$was durch die horizontale Komponente der Magnetkraft erfolgt. Die Gesamtarbeit des emfs beträgt: $$\begin{equation} \frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt} = -L_a\frac{dI_a}{dt}I_a-L_b\frac{dI_b}{dt}I_b-2\frac{dM}{dt} I_a I_b - MI_b \frac{dI_a}{dt} + MI_a \frac{dI_b}{dt} \end{equation}$$ Inzwischen ist die Änderung der Feldenergie: $$\begin{align} &U = \frac{1}{2}L_aI_a^2 + \frac{1}{2}L_bI_b^2 + MI_aI_b\\ &\frac{dU}{dt} = L_a I_a \frac{dI_a}{dt} + L_a I_b \frac{dI_b}{dt} + MI_b \frac{dI_a}{dt} + MI_a \frac{dI_b}{dt} + \frac{dM}{dt} I_a I_b \end{align}$$ Daher dürfen wir das schreiben $$\begin{equation}\tag{*}\label{energy cons} \frac{dU}{dt} + I_aI_b\frac{dM}{dt} = -\bigg(\frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt}\bigg) \end{equation}$$ Wir erkennen jetzt die Arbeit an$W_g$erfolgt durch Anheben der Schlaufe$\eqref{energy cons}$: $$\begin{equation} \frac{dW_g}{dt} = I_aI_b \frac{dM}{dt} \end{equation}$$ so dass: $$\begin{equation}\tag{**}\label{energy cons2} \frac{dU}{dt} + \frac{dW_g}{dt} = -\bigg(\frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt}\bigg) \end{equation}$$ Wir können auch umschreiben$\eqref{energy cons2}$in der Energieerhaltungsform: $$\begin{equation} U + W_g + W_a + W_b = \text{cnst.} \end{equation}$$ In Ermangelung einer Quelle wird also die Arbeit der EMFs (sei es Faraday oder Bewegung) beim Reduzieren der Ströme durch eine Änderung der potentiellen Energie und der kinetischen Translationsenergie (gegeben durch$W_g$unter Verwendung des Arbeits-Energie-Theorems).

Beachten Sie, dass die Arbeit, die von der vertikalen Komponente des Magnetfelds auf der Schleife verrichtet wird, nur die ist$-I_aI_b\frac{dM}{dt}$Begriff ein$dW_a$was übrigens das Negativ der von der horizontalen Komponente verrichteten Arbeit ist$dW_g$. Daher verrichtet das Magnetfeld wie gefordert keine Arbeit. Die Faraday-EMK kommt herein$W_a$und$W_b$sind stattdessen für die Änderung der Feldenergie verantwortlich$U$. Welche Kraft war dafür verantwortlich, dass die Schleife angehoben wurde? Die vertikale Komponente$\textbf{F}_{mag}^\parallel$der Magnetkraft natürlich, aber hat die Magnetkraft insgesamt funktioniert? Natürlich nicht.

Das Magnetfeld wirkt auch nicht auf Schleife b, da die EMK dort rein Faraday ist. Daher wird die Arbeit eher durch ein induziertes elektrisches Feld als durch ein magnetisches Feld verrichtet.