Mathematisch verallgemeinern vollständig positive Abbildungen auf C*-Algebren positive lineare Funktionale dadurch, dass jede positive lineare Funktion auf einer C*-Algebra liegt ist eine rundum positive karte von hinein . Darüber hinaus haben wir die Stinespring-Konstruktion als mächtige Verallgemeinerung der GNS-Konstruktion.
Sicherlich kann die Beziehung zwischen vollständig positiven Abbildungen und positiven linearen Funktionalen nur so weit gehen. Ich bin gespannt, was die Physik zu dieser Analogie/Verallgemeinerung zu sagen hat. Es scheint, dass vollständig positive Karten als verallgemeinerte Zustände eines Quantensystems dienen sollten, aber ich habe meistens gesehen, dass cp-Karten in der Diskussion über Quantenkanäle und Quantenoperationen auftauchen. Ich möchte genau wissen, in welchem Sinne eine völlig positive Landkarte als verallgemeinerter körperlicher Zustand angesehen werden kann.
Frage: Was ist physikalisch gesehen eine vollständig positive Karte? Insbesondere, in welchem genauen Sinne kann eine vollständig positive Karte als verallgemeinerter (physikalischer) Zustand angesehen werden?
Wenn es schöne Übersichtsarbeiten gibt, die die oben genannte Beziehung diskutieren, kann eine solche Referenz als Antwort auf meine Frage dienen.
Es gibt einen Isomorphismus zwischen Quantenkanälen und -zuständen, der als Jamiołkowski-Isomorphismus bekannt ist, und daher können Sie Eigenschaften des einen mit Eigenschaften des anderen verknüpfen.
Wenn Sie eine Seite eines maximal verschränkten Zustands in den Kanal übergeben, erhalten Sie den durch den Jamiołkowski-Isomorphismus definierten Zustand (unter Vernachlässigung der Normalisierung). Ich denke, das kommt einer physikalischen Interpretation am nächsten.
Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie den maximal verschränkten Zustand durch den Kanal leiten und die Umgebung des Kanals beibehalten (nicht nachzeichnen), den Kanal-Ket erhalten, der ein dreiteiliger reiner Zustand ist. Die drei Subsysteme entsprechen der Kanaleingabe, der Kanalausgabe und der Kanalumgebungsausgabe (auch bekannt als die Indizes für Kraus-Operatoren). Das Verfolgen der Umgebung auf dem Kanal ket ergibt den Jamiołkowski-Zustand, während das Verfolgen des Kanalausgangsteils des Kanals ket den Jamiołkowski-Zustand für den komplementären Kanal ergibt. Diese Aussagen sind alle wahr, unabhängig davon, ob der Kanal einheitlich ist. Wenn der Kanal einheitlich ist, dann wird das Subsystem des Kanalkets, das dem Kanalausgang entspricht, vollständig verschränkt sein. Das dem Kanaleingang entsprechende Teilsystem ist für einen spurerhaltenden Kanal immer vollständig verschränkt.
Als Folge des Satzes von Choi über vollständig positive Abbildungen können sie physikalisch wie folgt interpretiert werden: Im Kontext der Quanteninformationstheorie die Operatoren sind Kraus-Operatoren, die hinsichtlich der Zustände nicht unbedingt eindeutig sind. Beliebige Quadratwurzelfaktorisierung der Choi-Matrix gibt eine solche Matrix. Wegen der Kraus-Operatoren sind die linearen Funktionale auf die Eigenzustände der Choi-Matrix beschränkt. Hier ist eine Quelle, die dies weiterhin diskutiert: http://en.wikipedia.org/wiki/Completely_positive
Jon Bannon
Joe Fitzsimons