Was ist der Unterschied zwischen maximal verschränkten und maximal gemischten Zuständen?

Angenommen, wir haben zwei Hilbert-Räume$\mathcal{H}_A$und$\mathcal{H}_B$. Ein Quantenzustand an$\mathcal{H}_A$ist ein normalisierter, positiver Ablaufverfolgungsklassenoperator$\rho\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H}_A)$. Wenn$\mathcal{H}_A$ist endlich dimensinal (d.h$\mathbb{C}^n$), dann ist ein Quantenzustand nur eine positive semidefinite Matrix mit Einheitsspur auf diesem Hilbert-Raum. Bleiben wir der Einfachheit halber bei endlichen Dimensionen.

Betrachten wir nun die Idee eines reinen Zustands: Ein reiner Zustand ist ein Rang-Eins-Zustand, dh eine Rang-Eins-Projektion oder eine Matrix, die geschrieben werden kann als$|\psi\rangle\langle \psi|\equiv\psi\psi^{\dagger}$für einige$\psi\in\mathcal{H}_A$(Die erste ist die Dirac-Notation, die zweite ist die übliche mathematische Matrixnotation - da ich nicht weiß, mit welcher der beiden Sie vertrauter sind, lassen Sie mich beide verwenden). Ein gemischter Zustand ist nun eine konvexe Kombination von reinen Zuständen und aufgrund des Spektralsatzes ist jeder Zustand eine konvexe Kombination von reinen Zuständen. Daher kann ein gemischter Zustand geschrieben werden als

$$\rho=\sum_i \lambda_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i|$$ für einige $\lambda_i\geq 0$, $\sum_i \lambda_i=1$. In gewisser Weise die $\lambda_i$sind eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Zustand $\rho$ist eine "Mischung" aus $|\psi\rangle\langle\psi|$mit Gewichten $\lambda_i$. Wenn wir davon ausgehen, dass die $\psi_i$eine orthonormale Basis bilden, dann ist ein maximal gemischter Zustand ein Zustand, in dem die $\lambda_i$sind die einheitliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, dh $\lambda_i=\frac{1}{n}$wenn $n$ist die Dimension des Staates. In diesem Sinne ist der Zustand maximal gemischt, weil es sich um eine Mischung handelt, bei der alle Zustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. In unserem endlichdimensionalen Beispiel ist dies dasselbe wie das zu sagen $\rho$ist proportional zur Identitätsmatrix.

Beachten Sie, dass für alle Hilbert-Räume ein maximal gemischter Zustand definiert ist! Um maximal verschränkte Zustände zu berücksichtigen , benötigen wir eine Bipartition des Hilbert-Raums, dh wir betrachten nun Zustände$\rho\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B)$. Nehmen wir an$\mathcal{H}_A=\mathcal{H}_B$und endlichdimensional. In diesem Fall können wir den verschränkten Zustand betrachten. Ein Zustand heißt trennbar , wenn er als Gemisch geschrieben werden kann

$$\rho =\sum_i \lambda_i \rho^{(1)}_i\otimes \rho^{(2)}_i$$ dh es handelt sich um eine Mischung von Produktzuständen $\rho^{(1)}_i$Im Weltall $\mathcal{H}_A$und $\rho^{(2)}_i$Im Weltall $\mathcal{H}_B$. Alle Zustände, die nicht trennbar sind, heißen verschränkt . Wenn wir überlegen $\mathcal{H}_A=\mathcal{H}_B=\mathbb{C}^2$und bezeichnen die Standardbasis mit $|0\rangle,|1\rangle$, ein verschränkter Zustand ist gegeben durch

$$\rho= \frac{1}{2}(|01\rangle+|10\rangle)(\langle 01|+\langle 10|)$$ Sie können versuchen, es als trennbaren Zustand zu schreiben, und Sie werden sehen, dass dies nicht möglich ist. Beachten Sie, dass dieser Zustand rein ist, aber verschränkte Zustände müssen nicht rein sein!

Es stellt sich heraus, dass man für bipartite Systeme (wenn man drei oder mehr Systeme betrachtet, gilt das nicht mehr) eine Ordnung auf rein verschränkten Zuständen definieren kann: Es gibt Zustände, die stärker verschränkt sind als andere, und dann gibt es Zustände, die das haben maximal mögliche Verstrickung (wie das Beispiel, das ich oben aufgeschrieben habe). Ich werde nicht beschreiben, wie das gemacht wird (es ist hier zu viel), aber es stellt sich heraus, dass es eine einfache Charakterisierung eines maximal verschränkten Zustands gibt, der maximal verschränkte und maximal gemischte Zustände verbindet:

Ein reiner zweiteiliger Zustand ist maximal verschränkt, wenn die Matrix reduzierter Dichte auf beiden Systemen maximal gemischt ist.

Die reduzierte Dichtematrix ist das, was übrig bleibt, wenn Sie die Teilspur über eines der Subsysteme nehmen. In unserem obigen Beispiel:

$$\rho_A = tr_B(\rho)= tr_B(\frac{1}{2}(|01\rangle\langle 01|+|10\rangle\langle 01|+|01\rangle\langle 10|+|10\rangle\langle 10|))=\frac{1}{2}(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|)$$

und der letzte Teil ist genau die Identität, dh der Zustand ist maximal gemischt. Sie können dasselbe mit tun$tr_A$und sehen, dass der Staat$\rho$ist also maximal verschränkt.

Siehe die folgenden Beispiele:

1. $\rho_1 = \frac{1}{2}(|00\rangle + |11\rangle)(\langle 00| + \langle 11|)$ist ein maximal verschränkter Zustand.

2. $\rho_2 = \frac{1}{2} (|0\rangle \langle 0| + |1\rangle \langle 1|)$ist ein maximal gemischter Zustand.

Der Unterschied hängt nicht mit "maximal" zusammen. Ihre Frage kann geändert werden in:

Was ist der Unterschied zwischen "verschränkt" und "gemischt"?

Einfach gesagt: "Verschränkt" ist eine Beziehung zwischen zwei Systemen (oder Teilsystemen), während "Gemischt" eine Eigenschaft eines Systems ist.

Wenn der Zustandsraum für ein System als Tensorprodukt der Zustandsräume einzelner Komponenten des Systems ausgedrückt werden kann, ist ein verschränkter Zustand einer, der nicht als Tensorprodukt der Zustände dieser einzelnen Komponenten ausgedrückt werden kann. Ein verschränkter Zustand ist also eine besondere Art von (reinem, dh unvermischtem) Zustand.

Ein gemischter Zustand hingegen ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über reine Zustände. Dies ist vollkommen sinnvoll, unabhängig davon, ob der Zustandsraum als Tensorprodukt zerlegt wird oder nicht.

Ein verschränkter Zustand ist also nur in dem degenerierten Sinne ein gemischter Zustand, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einen einzigen Punkt konzentriert ist. Natürlich kann man auch eine nicht-triviale Mischung verschränkter Zustände haben.