Was ist der Unterschied zwischen thermodynamischen freien Energien und der freien Landau-Energie?

Die freie Landau-Energie, auch Landau-Ginzburg-Hamiltonoperator genannt, wird in vielen Lehrbüchern adhoc und ziemlich verwirrend behandelt. Aber aus heutiger Sicht hat es eine einfache Interpretation als effektiver Hamilton-Operator, der durch Integration von Freiheitsgraden erreicht wird.

Angenommen, wir haben ein Spinsystem wie einen Ising-Magneten. Wir können den Zustand des Systems durch ein Magnetisierungsfeld beschreiben$\phi(x)$, wobei zu beachten ist, dass dieses Feld keinen Sinn ergibt, wenn wir Längenskalen untersuchen, die kleiner als der Gitterabstand sind$a$. Wir können eine Summe über alle Spinzustände schreiben, indem wir ein Integral über Feldkonfigurationen schreiben, solange das Integral an der Entfernungsskala abgeschnitten wird$a$.

Wenn der Hamiltonian ist$H[\phi]$, dann die thermodynamische freie Energie$F$gehorcht

$$Z = e^{-\beta F} = \int_{\Delta x\, >\, a} \mathcal{D}\phi \, e^{-\beta H[\phi]}$$ das ist nur eine Umformulierung der Standardidentität$F = - k_B T \log Z$. Nach Wilsonscher Sicht wird die thermodynamische freie Energie durch Integration aller mikroskopischen Freiheitsgrade gewonnen. Das Ergebnis hängt nur von makroskopischen Größen wie Temperatur, Druck und dem äußeren Feld ab. Dies ist nützlich, da der ganze Sinn der Thermodynamik darin besteht, die mikroskopischen Details zu ignorieren und sich auf makroskopische Größen zu konzentrieren, die leicht zu messen sind. Verwenden Sie zum Beispiel nur die Funktion$F$, können wir die Gleichgewichtsmagnetisierung bestimmen, indem wir sie minimieren.

Nun, die Landauer freie Energie$H_L$erfüllt

$$Z = \int_{\Delta x \, > \, b} \mathcal{D}\phi \, e^{-\beta H_L[\phi]}$$ Wo$b$ist eine mesoskopische Entfernungsskala, größer als$a$aber immer noch viel kleiner als eine makroskopische Länge. Nach Ansicht von Wilson ist die freie Landau-Energie der effektive Hamilton-Operator, der durch Integrieren von Freiheitsgraden auf Längenskalen erhalten wird$a < x < b$. Der Punkt der freien Landau-Energie ist, dass sie einen Kompromiss zwischen dem vollständig Mikroskopischen darstellt$H$, das zu detailliert ist, um nützlich zu sein, und das vollständig makroskopische$F$, was nichts über zB Positionsabhängigkeit aussagt. Wie$H$,$H_L$ist eine Funktion, aber es ist eine Funktion von "weniger Variablen".

Das Obige erklärt warum$H_L$kann als Hamiltonoperator bezeichnet werden, aber warum wird sie auch als freie Energie bezeichnet? Normalerweise ist der Ausgangspunkt für die Anwendung der Landau-Theorie die Sattelpunktnäherung, die besagt, dass typische Gleichgewichtsfeldkonfigurationen minimiert werden$H_L$. Da wir minimieren$H_L$, behandeln wir sie wie eine freie Energie, weshalb sie manchmal als freie Landau-Energie bezeichnet wird.

Aber warum gilt das? Sie können definitiv keine thermodynamische Frage richtig beantworten, indem Sie minimieren$H$, weil thermische Effekte nicht berücksichtigt werden; Sie müssen stattdessen minimieren$F$. Minimierung$H_L$gibt genau dann die richtige Antwort, wenn thermische Effekte auf Entfernungsskalen größer als vernachlässigbar sind $b$. Dies gilt wann$b$viel größer ist als die Korrelationslänge des Systems$\xi$, weshalb die Landau-Theorie so gut funktioniert und an einem kritischen Punkt normalerweise nicht wahr ist$\xi$divergiert, weshalb die Landau-Theorie keine kontinuierlichen Phasenübergänge beschreibt.