Wie viele Freiheitsgrade hat eine Feder?

Ich lerne gerade etwas über Thermodynamik und Wärmekapazitäten. Uns wurde gesagt, dass die theoretischen molaren Wärmekapazitäten aller Feststoffe sein sollten 3 R . Mir wurde gesagt, dass dies daran liegt, dass es für jedes Atom in einem Festkörper 6 verschiedene Schwingungsfreiheitsgrade gibt . Da diese Atome festsitzen, können sie sich nicht drehen und verschieben, also habe ich versucht herauszufinden, wie genau diese 6 Freiheitsgrade aussehen. Hier sind meine Gedanken:

Erstens stelle ich mir Freiheitsgrade gerne als Orte vor, an die Energie gehen kann. Beispielsweise kann in einem Gas Energie als kinetische Energie auf ein Teilchen übertragen werden. Diese kinetische Energie kann es dazu bringen, sich auf jeder Achse zu verschieben und auf jeder Achse zu drehen (vorausgesetzt, es ist nichtlinear polyatomar). Natürlich ist jedem Teilchen auch eine potentielle Energie zugeordnet (Energie kann an einen anderen Ort gehen), aber wir können sie ignorieren, da sich die durchschnittliche potentielle Energie des Systems nicht ändert (bei festem Volumen).

Nehmen wir nun einen hypothetischen Festkörper, der nur 1 Atom dick ist. Sein Gitter sieht so aus:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Mein Lehrer würde sagen, dass dies 4 Freiheitsgrade hat, weil jedes Atom im Festkörper nach oben/unten oder links/rechts schwingen kann. Aber mit meiner Definition von Freiheitsgraden würde ich sagen, dass es nur 2 Freiheitsgrade geben sollte. Die der x-Richtung zugeordnete potentielle Energie und die der y-Richtung zugeordnete potentielle Energie. Der Grund, warum ich kinetische Energie diskontiere, ist, wann E k ich N e T ich C = 0 :

E M e C H A N ich C A l = E P Ö T e N T ich A l

Daher können wir die hinzugefügte Energiemenge einfach dadurch definieren, was sie mit der maximalen potentiellen Energie macht. Deshalb denke ich, dass eine normale Feder nur einen Freiheitsgrad hat (ihre potentielle Energie). Warum also hat das oben abgebildete System 4 DOFs?

Jede Perle hat vier Freiheitsgrade, weil es zwei Federn für jede Perle gibt (d. h. es gibt doppelt so viele Federn wie Perlen) und das Potential jeder Feder einen Freiheitsgrad beiträgt, und dann haben die Perlen zwei Translationsgrade von Freiheit, weil sie zweidimensional sind. Daher hat das System für jede Perle vier Freiheitsgrade. Können Sie besser erklären, warum Sie diese Erklärung nicht verstehen?
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs Funktioniert für mich sowohl als Antwort als auch als Kommentar?
@ Countto10 Ich denke, es muss einen anderen Punkt der Verwirrung gegeben haben. Wenn mein Kommentar wirklich alles ist, was Nova sehen musste, dann ist dies wirklich ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/80711/23785
Jede Perle hat einen Ort und eine Geschwindigkeit, und beide sind zweidimensional. Der Ort gibt Ihnen die potentielle Energie, während die Geschwindigkeit die kinetische Energie. Wie könnte es etwas anderes als 4 Freiheitsgrade pro Perle geben?
@hyportnex Da mechanische Energie für eine Feder erhalten bleibt, kann ich eine Energiezufuhr in ein System einfach als Energiezufuhr in die in der Feder vorhandene mechanische Energie behandeln.
Das kann ich bei Gasen nicht. Zwei Kolben können Gasmoleküle mit der gleichen durchschnittlichen kinetischen Energie, aber nicht der gleichen durchschnittlichen potentiellen Energie haben. Aber der einzige Unterschied zwischen zwei Festkörpern bei unterschiedlichen Temperaturen ist die Menge an mechanischer Energie, die in ihren "Federn" enthalten ist.
@Nova Es gibt keine einfache Möglichkeit für Sie, diese Frage zu lösen, ohne sich mit der Mathematik der Modelle auf einer Ebene zu befassen, auf der der Hamiltonsche Phasenraum, das Liouville-Theorem und die ergodische Hypothese im Spiel sind.

Antworten (1)

Wir sollten damit beginnen, anzuerkennen, dass „Freiheitsgrad“ in physikalischer und technischer Hinsicht mindestens zwei Bedeutungen hat. Eins – verwendet in der mechanischen Konstruktion – entspricht im Wesentlichen einer mechanischen verallgemeinerten Koordinate für das System. Eine andere – die gebräuchlichere Bedeutung in der thermischen Physik – ist die Dimensionalität des Phasenraums des Systems . Keines dieser Dinge ist genau das, was Sie für die Zwecke des Gleichverteilungssatzes zählen sollten.

Was der Gleichverteilungssatz zählt, sind Beiträge zum Hamilton-Operator, die entweder in einer verallgemeinerten Koordinate oder in einem verallgemeinerten Impuls quadratisch sind.

Eine 1D-Feder hat die Freiheit, sich nur in eine Richtung zu bewegen (dh einen mechanischen Freiheitsgrad gemäß der technischen Definition), hat aber einen zweidimensionalen Phasenraum ( X , P X ) (dh zwei Freiheitsgrade in einer gemeinsamen, aber für mein Ohr schlampigen Verwendung), und der Hamilton-Operator ist in beiden Parametern quadratisch

H = 1 2 k X 2 + P X 2 2 M ,
es hat also zwei Beiträge zum Zweck der Gleichverteilung.

In einem Modellkörper wie dem, den Sie darstellen, zeigt jedes Atom (in a D dimensionaler Raum) kann naiv assoziiert werden D mechanische Freiheitsgrade, 2 D Parameter im Phasenraum und 2 D quadratische Moden im Hamiltonoperator.

Als Randbemerkung ist es nicht unbedingt wahr, dass jeder mechanische Freiheitsgrad zu zwei Beiträgen zum Gleichverteilungssatz führt. Das praktischste Gegenbeispiel ist das ideale Gas.

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