Was ist der Unterstützungsbereich der Schechter-Leuchtkraftfunktion?

Verstehen Sie zuerst, dass dies der Numerologie in der Astronomie gefährlich nahe kommt. Astronomen wollten aus irgendeinem Grund eine sehr "einfache" funktionale Form für die Verteilung der Galaxienhelligkeit haben, und wenn Sie genau genug hinsehen (oder auch nicht so genau, wie der Fall sein mag), werden reale Daten natürlich nie besonders gut passen durch diese Form, insbesondere über einen großen Bereich von Leuchtstärken.

Was die Unterstützung betrifft, so ist es technisch$(0,\infty)$an Leuchtkraft$L$(OPs Variable$x$). Unter Verwendung einer gebräuchlicheren Notation schreibe ich die Schechter-Funktion als

$$\Phi(L) = \frac{n_0}{L^*} \left(\frac{L}{L^*}\right)^\alpha \mathrm{e}^{-L/L^*},$$ Wo $\Phi(L)$misst die Anzahldichte pro Volumeneinheit pro Einheit Leuchtkraft von Galaxien mit Leuchtkraft $L$und mein $n_0$ist einige Autoren $\Phi^*$, aber das gibt $\Phi$Und $\Phi^*$verschiedene Einheiten. Sie sehen schnell ein Problem mit der Normalisierbarkeit abhängig von $\alpha$. Wenn $\alpha \leq -1$, Dann $$\int_0^{L_\text{max}} \Phi(L)\ \mathrm{d}L$$ weicht für alle ab $L_\text{max}$, was unendlich viele Galaxien (fast alle sehr schwach) pro Volumeneinheit anzeigt. Passt oft zu realen Daten $\alpha$in der Nähe dieses Regimes schweben, also ist das Problem nicht nur ein akademisches.

Natürlich, wie in der Originalarbeit von Schechter ausgeführt ,

$$\int_0^\infty L \Phi(L)\ \mathrm{d}L = n_0 L^* \Gamma(\alpha+2)$$ für $\alpha > -2$, also ist die Leuchtkraftdichte für vernünftige Werte von noch endlich $\alpha$.

Beachten Sie beim Anpassen von Daten, dass die Abweichung normalerweise innerhalb von zwei oder drei (astronomischen) mag schlimm genug ist$L^*$dass diese Datenpunkte oft nicht in der Anpassung enthalten sind. Ich nehme eine glatte Gewichtungsfunktion an, die diese Punkte entsprechend ihrer Nähe zu entgewichtet$L^*$könnte man auch verwenden.

Zusammenfassend: Die Normalisierung ist an die tatsächliche Anzahldichte von Galaxien in der Probe gebunden, die in einigen Fällen unendlich sein kann.

Die Unterstützung der Pareto-Verteilung kann bestimmt werden, indem verlangt wird, dass sie auf 1 normalisiert wird:

$$\int_{x_\text{min}}^\infty p(x)\mathrm{d}x = \int_{x_\text{min}}^\infty \frac{\alpha - 1}{x_0}\biggl(\frac{x}{x_0}\biggr)^{-\alpha}\mathrm{d}x = \biggl(\frac{x_\text{min}}{x_0}\biggr)^{1 - \alpha} = 1$$

was dich bekommt$x_\text{min} = x_0$. Sie könnten also die gleiche Argumentation auf die Leuchtkraftfunktion anwenden:

$$\int_{x_\text{min}}^\infty p(x)\mathrm{d}x = \int_{x_\text{min}}^\infty Ce^{-\frac{x}{x_0}}\biggl(\frac{x}{x_0}\biggr)^{-\alpha}\mathrm{d}x = Cx_0\Gamma\biggl(1 - \alpha, \frac{x_\text{min}}{x_0}\biggr) = 1$$

Wo$\Gamma$ist die obere unvollständige Gammafunktion und$C$ist die Normalisierungskonstante Ihrer Leuchtkraftfunktion. Sie müssten diese Gleichung lösen für$x_\text{min}$, was numerisch unter Verwendung eines beliebigen von verschiedenen Wurzelfindungsalgorithmen oder einer Implementierung der inversen unvollständigen Gammafunktion erfolgen kann; oder Sie könnten einen Anpassungsalgorithmus der kleinsten Quadrate verwenden, um diese Funktionsform mit Ihren Daten abzugleichen und dadurch beide zu bestimmen$C$Und$x_\text{min}$.