Was ist die allgemeine mathematische Definition von Welle?

Wellen sind Phänomene der realen Welt. Um die allgemeinste Definition von Wellen aus mathematischer Sicht bereitzustellen, sollte man mit einer sorgfältigen Auflistung aller physikalischen Eigenschaften beginnen, die allen Phänomenen gemeinsam sind, die wir "Wellen" nennen wollen. Ich bin mir nicht sicher, ob es eine vollständige Liste gibt, aber unter Berücksichtigung einer großen Menge bekannter linearer und nichtlinearer Phänomene, die als Wellen klassifiziert werden, würde ich sagen, dass eine ziemlich breite und allgemeine mathematische Definition der meisten physikalischen Wellen lauten könnte: irgendeine Phänomen, das durch die Lösung einer partiellen Differentialgleichung hyperbolischen Typs , in den meisten Fällen zeitlich zweiter Ordnung, beschrieben werden kann ; dh eine partielle Differentialgleichung für eine Funktion$f(\vec{r},t)$(Wo$\vec{r}$ist ein "Raum"-Punkt in an$n-$dimensionaler Konfigurationsraum), so dass er ein gut gestelltes Anfangswertproblem der Art hat:

$$f(\vec{r},t=0)=\phi_0(\vec{r})\\ \frac{\partial{f}}{\partial{t}}(\vec{r},t=0)=\phi_1(\vec{r})$$ war$\phi_0$Und$\phi_1$Funktionen gegeben sind.

Beachten Sie, dass die übliche lineare d'Alembert-Wellengleichung

$$\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}=v^2\nabla^2{f}$$ ist ein sehr spezieller Fall einer hyperbolischen Gleichung, bei der zu viele wellenartige Phänomene (dispersive und/oder gedämpfte Wellen, nichtlineare Wellen einschließlich Solitonen, quantenmechanische Wahrscheinlichkeitswellen usw.) ausgelassen werden.

Ein Wort der Vorsicht ist für einige Phänomene wie Stoßwellen erforderlich, deren Beschreibung auch auf hyperbolischen pde basieren kann, aber in denselben Fällen sind andere Beschreibungen ohne pde möglich.