Was ist die Definition des Drehimpulses in einem Zweikörpersystem?

Der Drehimpuls$\vec{L}$und Drehmoment$\vec{\tau}$sind beide abhängig von der Wahl des Ursprungs. Aber die Beziehung zwischen ihnen hängt nicht von der Wahl der Koordinate ab. Der Drehimpuls ist keine zeitliche Konstante, seine Änderungsgeschwindigkeit ist gleich dem Drehmoment.

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.$$

Mal sehen, wie diese Beziehung im Änderungsursprung erhalten bleibt:

In Rahmen A:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p};\\ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F};\\ $$

Die Geschwindigkeitsänderung des Drehimpulses:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \vec{r} \times \vec{p} \right) = \vec{v}\times\vec{p} +\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}.$$

Angenommen, wir verschieben den Ursprung nach$\vec{R}$(ein konstanter Vektor), so dass$\vec{r} \to \vec{r}' = \vec{r} + \vec{R}$. Beide$\vec{L}$Und$\vec{\tau}$werden entsprechend der Bewegung des Ursprungs geändert:

In Rahmen B:

$$\vec{L}_B = \left(\vec{r} + \vec{R} \right) \times \vec{p} \ne \vec{L};\\ \vec{\tau}_B = \left( \vec{r} + \vec{R} \right) \times \vec{F} \ne \vec{\tau};\\ $$

Aber die Ratenänderung des Drehimpulses im Verhältnis zum Drehmoment ist dieselbe:

$$\frac{d\vec{L}_B}{dt} = \frac{d}{dt} \left\{ (\vec{r} + \vec{R}) \times \vec{p} \right\} \\ = \vec{v}\times\vec{p} + (\vec{r} +\vec{R} )\times \frac{d\vec{p}}{dt} = (\vec{r} +\vec{R} ) \times \vec{F} = \vec{\tau}_B.$$

Seit$\vec{R}$ist ein konstanter Vektor,$\frac{d\vec{R}}{dt} = 0$.

Von vielen Körpern,$\vec{L}$Und$\vec{\tau}$sind beide eine Vektorsumme jedes einzelnen Drehimpulses oder Drehmoments. Und die Beziehung zwischen der Ratenänderung des Gesamtdrehimpulses und dem Gesamtdrehmoment ist dieselbe.

Sie haben also zwei Objekte mit Impuls$\boldsymbol{p}_1 = m_1 \boldsymbol{v}_1$Und$\boldsymbol{p}_2 = m_2 \boldsymbol{v}_2$. Der Drehimpuls wird aus den Körperpositionen als definiert$\boldsymbol{L}_1 = \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{p}_1$Und$\boldsymbol{L}_2 = \boldsymbol{r}_2 \times \boldsymbol{p}_2$, alle von einem gemeinsamen Ursprung definiert.

Zusammen ergibt sich der Gesamtimpuls als Summe der einzelnen Teile

$$\begin{aligned} \boldsymbol{p} & = \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{L} & = \boldsymbol{L}_1 + \boldsymbol{L}_2 \end{aligned}$$

Nun ist unklar, was die Kinematik der beiden Körper ist, was zu weiteren Vereinfachungen führt. Wenn sich die beiden Körper zum Beispiel in einer Umlaufbahn umeinander befinden, drehen sie sich beide um einen gemeinsamen Schwerpunkt, der durch definiert ist

$$\boldsymbol{r}_C = \frac{ m_1 \boldsymbol{r}_1 + m_2 \boldsymbol{r}_2 }{m_1 +m_2}$$

Zerlegen Sie nun jede Position als$\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{r}_C + \boldsymbol{d}_1$Und$\boldsymbol{r}_2 = \boldsymbol{r}_C + \boldsymbol{d}_2$und beachten Sie, dass Sie das Baryzentrum haben müssen, damit es korrekt ist$m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 = 0$.

Wenn sie einander umkreisen, teilen sie eine gemeinsame Rotationsgeschwindigkeit$\boldsymbol{\omega}$über das Baryzentrum, und die Kinematik ist wie folgt:

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1 & \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2 \end{aligned}$$

Nehmen Sie nun den Gesamtimpuls

$$\require{cancel} \begin{aligned} \boldsymbol{p} & = m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 \\ & = m_1 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1) + m_2 ( \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2) \\ & = (m_1 + m_2) \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \cancel{(m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 )} \\ & = (m_1 + m_2)\,\boldsymbol{v}_C \end{aligned}$$

Und der Gesamtdrehimpuls um das Baryzentrum

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_C & = \boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{d}_2 \times \boldsymbol{p}_2 \\ & = \boldsymbol{d}_1 \times m_1 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1) + \boldsymbol{d}_2 \times m_2 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2) \\ & = \cancel{ ( m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 )}\times \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{d}_1 \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_1) + \boldsymbol{d}_2 \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_2) \\ & = \mathbf{I}_1 \boldsymbol{\omega} + \mathbf{I}_2 \boldsymbol{\omega} = ( \mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2 ) \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

Wo$\mathbf{I}_i$ist ein 3 × 3-Massenträgheitstensor, der durch mathematische Trickserei durch Ausklammern abgeleitet wurde$\boldsymbol{\omega}$aus$\boldsymbol{d}_i \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_i)$.

Um nun den Drehimpuls auf den Ursprung zu übertragen, gehen Sie wie folgt vor

$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}_C + \boldsymbol{r}_C \times \boldsymbol{p}$$

Was hier konserviert wird, ist$\boldsymbol{L}_C$nicht nur in der Größe, sondern auch in der Richtung und auch$\boldsymbol{p}$da keine äußeren Kräfte vorhanden sind. Infolge$\boldsymbol{L}$wird auch geschont. Eine Bedingung ist das$\boldsymbol{r}_C \times \boldsymbol{v}_C = 0$.

Für jeden Körper$\boldsymbol{L}_i = \boldsymbol{d}_i \times m_i ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_i )$ist erhalten, wenn$\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{d}_i=0$.