Was ist die genaue Definition von Gravitational Sphere of Influence (SOI)?

Das habe ich mich auch eine Weile gefragt und eine nicht ganz vollständige Herleitung der Formel gefunden (ab Seite 14) .
In dem die folgende Gleichung verwendet wird,

$$\ddot{\vec{r}}+\underbrace{\frac{\mu_i}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r}}_{-A_i}=\underbrace{-\mu_j\left(\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}_{P_j},$$ Wo $\vec{r}$ist der Vektor zwischen den Schwerpunkten eines Raumfahrzeugs, angegeben mit $m$, und der Himmelskörper mit Gravitationsparameter $\mu_i$, $\vec{d}$ist der Vektor zwischen den Schwerpunkten eines Raumfahrzeugs und dem Himmelskörper mit Gravitationsparameter $\mu_j$Und $\vec{\rho}$ist der Vektor zwischen den Schwerpunkten der Himmelskörper $\mu_i$Und $\mu_j$. Diese Vektoren sind auch in der folgenden Abbildung dargestellt.

                   

Und dann betrachtet man das Raumschiff aus einem beschleunigten Bezugssystem eines Himmelskörpers$A$ist definiert als die primäre Erdbeschleunigung und$P$als Störbeschleunigung durch den anderen Himmelskörper.

Und der SOI ist nach Laplace als die Fläche definiert, entlang der die folgende Gleichung erfüllt ist,

$$\frac{P_j}{A_i}=\frac{P_i}{A_j},$$ So $$\frac{\mu_j\left(\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}{\mu_i\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}}=\frac{\mu_i\left(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}{\mu_j\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}}.$$ Dies wird keine sphärische Oberfläche zurückgeben, aber es kann durch eine angenähert werden, wenn $\mu_i << \mu_j$, dessen Radius gleich ist $$\|\vec{r}\|\approx r_{SOI}=\|\vec{\rho}\|\left(\frac{\mu_i}{\mu_j}\right)^{\frac{2}{5}}.$$ Hier hören die Folien der Vorlesung auf und ich werde versuchen, den Rest zu ergänzen. Wenn $\mu_i << \mu_j$als der SOI relativ nahe sein wird $\mu_i$So $$\|\vec{\rho}\|\approx\|\vec{d}\|,$$ und wenn Sie sich die Abbildung oben ansehen, können Sie das wann sehen $\|\vec{r}\|$ist kleiner als $\vec{d}$Und $\vec{\rho}$zeigen fast in die entgegengesetzte Richtung und bilden mit ein Dreieck $\vec{r}$so dass $$\vec{\rho}+\vec{d}=\vec{r}.$$ Durch Umschreiben der Definition der Oberfläche mit der erhaltenen Annäherung $$\mu_j^2\frac{\vec{d}}{\|\vec{\rho}\|^6}=\mu_i^2\frac{1}{\|\vec{r}\|^3}\left(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)$$ Die andere Annäherung, die gemacht werden muss, ist die $\|\vec{r}\|<<\|\vec{\rho}\|$so dass $$\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\approx\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}.$$ Nun kann die Gleichung reduziert werden auf $$\mu_j^2\frac{\vec{d}}{\|\vec{\rho}\|^6}=\mu_i^2\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^6}.$$ Durch Verallgemeinerung $\vec{r}$Als konstanter Radius kann man dieses Problem also eindimensional machen $\|\vec{r}\|$ersetzen kann $\vec{r}$und da es keine Vektoradditionen mehr gibt (so dass kleine Unterschiede zwischen ihnen von Bedeutung sein könnten) daher $\|\vec{\rho}\|$kann auch ersetzen $\vec{d}$, was die endgültige Gleichung ergibt $$\mu_j^2\|\vec{r}\|^5=\mu_i^2\|\vec{\rho}\|^5\longrightarrow\|\vec{r}\|=\|\vec{\rho}\|\left(\frac{\mu_i}{\mu_j}\right)^{\frac{2}{5}}.$$