The Wall of Darkness von Arthur C. Clarke (1949) ist eine mathematische Fiktion, die normalerweise in halbakademischen Kreisen zitiert wird, um die Geometrie des Moebius-Bandes zu veranschaulichen .
Es befasst sich mit einem Universum mit einer einzigen Sonne und einem einzigen Planeten, aber keinen anderen Sternen. Die Welt blieb angeblich immer hell, nur mit einer leichten Veränderung, wenn die Sonne im Winter ein wenig in Richtung Horizont sinkt. Ihr Planet hat einen unwirtlich heißen Norden, eine gemäßigte Mitte und einen extrem kalten Süden. Der Süden ist karg, abgesehen von einer unüberwindbaren Mauer, die sich an einem Punkt so weit südlich über die Welt erstreckt, dass die Menschen sie im Sommer, wenn es wärmer wird, kaum erreichen können.
Es gibt ein Gerücht, dass einen Mann verrückt machen wird, wenn man sieht, was sich auf der anderen Seite der Mauer befindet. Aber ein neugieriger, wohlhabender Typ namens Shervane beschließt, dass er es trotzdem tun muss. In einem riesigen Projekt, das mehr als 7 Jahre dauert, lässt er eine Reihe von Plattformen bauen und geht auf die Mauer, um sicherzustellen, dass sein Freund alles in die Luft jagt, wenn etwas Schreckliches passiert.
Dann entfernt er sich von der Sonne, die beim Gehen hinter ihm schwächer wird, und vor ihm erscheint eine andere Sonne und wird hell. Als er sich dem Rand der Mauer nähert, sieht er seinen Freund (den er zurückgelassen hat) zu ihm aufblicken.
Dann sprengen sie die Plattformen, damit niemand sonst jemals wieder versuchen kann, die Mauer zu durchbrechen, weil er sagt, es sei notwendig. Er stellt sich in Gedanken vor, wie ein anderer die Plattform auf der anderen Seite in die Luft sprengt, sagt aber, das sei natürlich unmöglich, da er der einzige Mensch auf der Welt sei, der mit Sicherheit weiß, dass die MAUER NUR EINE SEITE HAT.
Auch die Geometrie des Möbiusbandes wird in der Geschichte durch einen Professor des Protagonisten erklärt.
Aber natürlich, wie der Autor gut gewusst haben muss, ist das Möbiusband zweidimensional und jedes Modell des Universums (in seiner Geschichte) muss dreidimensional sein.
Nun wird eine Klein-Flasche normalerweise als höherdimensionales Äquivalent des Möbius-Bandes angesehen. Während dies eindeutig ein Missverständnis ist (die Klein-"Flasche" ist eine zweidimensionale Oberfläche, genau wie das Möbiusband, nur scheint sie ein Volumen zu umschließen, das sich von der anderen unterscheidet), könnte es durchaus sein, dass das hier betroffene Modell das "Innere" ist der Klein-Flasche, oder äquivalent, dass das Universum die Klein-Flasche als Grenze hat. Aber ich kann nicht erkennen, wie genau die "Mauersituation" bei einem Universum in einer solchen Form funktioniert.
Es wurde vorgeschlagen, die Wand auf dem Hals der Flasche aufzubauen. Aber ein Blick auf die Figur zeigt, dass eine Person, die „über die Spitze“ einer solchen Mauer geht, nur die Region dahinter sehen wird, nicht dieselbe Seite. Die Eigenschaft der Kleinschen Flasche (analog zum Möbiusband, das nur eine Seite und nicht zwei hat) ist, dass sie nur eine der Paritäten links und rechts und nur eine von innen und außen hat. Damit unsere Wand wie beabsichtigt funktioniert, muss sie die „Oberfläche“ „durchdringen“, die das falsche Innen und das falsche Außen verbindet, was keinen Sinn ergibt.
Es wurde auch kommentiert, dass die Geschichte versucht, beeindruckender zu klingen, als sie tatsächlich ist. Aber es könnte einfach sein, dass der Autor nur ein Stimmungsstück beabsichtigte, das sich auf die Philosophie unserer Existenz und unsere Suche nach dem „großen Unbekannten“ konzentriert.
Kann jemand zeigen, was die richtige Geometrie dieses Universums ist? Das bedeutet, zu erkennen, welche bekannte mathematische Form – eine dreidimensionale Oberfläche – sie genau modelliert.
Die Zusammenfassung der Geschichte und die oben gegebenen Kommentare sind von hier kopiert .
BEARBEITEN: Wir erlauben auch verzweigte 3D-Oberflächen, wenn wir 3D-Oberfläche sagen, was angesichts der Diskussion nach der Antwort von Kyle Jones notwendig erscheint.
tl;dr Die Mannigfaltigkeit, die Shervanes Universum umgibt, wird als Alice-Griff bezeichnet .
Um die Erklärung zu vereinfachen und die Visualisierung zu erleichtern, stellen Sie sich vor, dass unser Held Shervane ein zweidimensionales Wesen ist, das auf einer endlichen 2D-Oberfläche lebt, einer kreisförmigen Region, die aus einer Ebene geschnitten ist. Von oben betrachtet sieht Shervane wie der Buchstabe R aus, während er sich durch seine Welt bewegt. Wenn wir nach unten schauen, sehen wir, wie Shervane an den Rand seiner Welt und des Vergessens gleitet. Um ihn zu retten, fügen wir dem Rand seines Universums einen langen Streifen Platz hinzu, damit er, wenn er den alten Rand erreicht, nicht ins Nichts davonfliegt. Wir biegen den Streifen sanft in der dritten Dimension herum, so dass er sich wieder mit dem Rand der Scheibe verbindet, wo er begonnen hat. Shervanes Universum ist jetzt (ungefähr) eine Scheibe mit einem Zylinder am Rand. Wenn Shervane jetzt weitergeht, durchquert er die Außenseite des Zylinders und landet schließlich wieder dort, wo er begonnen hat, außer dass er sich in die entgegengesetzte Richtung bewegt.
Leider hat die Reise durch die dritte Dimension auch Shervane umgedreht, so dass er nun sein eigenes Spiegelbild ist. Von oben sieht er jetzt aus wie der Buchstabe Я statt wie R. Seine Linke ist die Rechte aller anderen und umgekehrt. Um zu verhindern, dass Shervane umgedreht wird, fügen wir dem Streifen, den wir an den Rand der Scheibe geklebt haben, eine halbe Drehung hinzu, sodass Shervane eine zusätzliche Drehung bekommt, bevor er zur Scheibe zurückkehrt.
Diese halbe Drehung, die wir hinzugefügt haben, wandelt den Streifen, den wir hinzugefügt haben, in einen Möbius-Streifen um, sodass Shervanes Universum jetzt wie eine Scheibe aussieht, deren Kante die Oberfläche eines Möbius-Streifens berührt, anstatt einer Scheibe an einem Zylinder. Um zu verhindern, dass Shervane in eine andere Richtung von der Scheibe abgeht, müssen wir die ganze Scheibe mit diesen verdrehten Streifen umgeben. Wir müssen auch die Streifenkanten zusammenkleben, damit er nicht von diesen Kanten laufen kann. Wenn man die Kanten eines Möbiusbandes zusammenklebt, erhält man die Klein-Fläche . Wenn Shervane also in Flatland lebte, müssten die Kanten seiner flachen Scheibe, damit die Geschichte funktioniert, von einer einheitlichen Klein-Oberfläche umgeben und tangiert sein. (Wenn es uns egal wäre, Shervanes links und rechts umzukehren, würde eine Scheibe ausreichen, deren gesamte Kante die Oberfläche des Torus berührt.)
Damit die Geschichte in einem dreidimensionalen Universum funktioniert, müsste Shervanes Universum nicht von einer Klein-Oberfläche umgeben sein, sondern von dem, was auch immer das 3D-Analogon der Klein-Oberfläche ist. Der Begriff für eine solche Mannigfaltigkeit ist ein Alice-Griff oder ein nicht orientierbares Wurmloch.
@N Unnikrishnan schrieb oben in den Kommentaren: "Ich stelle mir vor, dass die Oberfläche des Planeten wie ein Torus geformt ist und die einseitige Wand am inneren Äquator liegt." Ich glaube nicht, dass das stimmt, denn:
Shervanes Welt „wendete immer dasselbe Gesicht seiner einsamen Sonne zu“. (Clarke nennt diese Seite der Welt den "Norden") Dann muss sie sich gleichzeitig um die Sonne und um ihre Achse drehen, genau wie der Mond um die Erde.
"Reise über Land und Meer ... konnte nicht mehr als ein wenig verkürzt werden, indem man so weit nach Norden reist, wie man es wagt." Das bedeutet, je nördlicher, desto kleiner der Umfang dieser Welt.
Basierend auf 1 und 2 nehme ich an, dass dies von der Wand bis zum Nordpol die Hemisphäre oder so ähnlich ist. Ich verstehe nicht, wie ich den Wechsel der Jahreszeiten in diesem Modell erklären soll. Aber bei einem Modell mit einem Torus scheint mir das eine noch schwierigere Aufgabe zu sein.
Was die südliche Grenze dieser Welt betrifft, wenn Sie die Scheibe durch eine Halbkugel ersetzen, gefällt mir Ihre Idee.
Könnte es sein, dass der Planet in dem Bereich, in dem die Mauer errichtet wurde, Kontakt mit der Grenze dieses Universums hat?
Sowohl in einem Moebius-Streifen als auch in einer Klein-Flasche befinden sich die "Verdrehung" und die Wiederverbindung in einer höheren Dimension. Der Streifen ist 1D und die Flasche ist 2D. Es ist ein Fehler zu glauben, dass die Flasche von selbst "durchgeht". Eine echte Klein-Flasche hat kein Loch, im Gegensatz zu dem physischen Bild, das wir sehen.
Um eine Region des 3D-Raums "keine andere Seite haben" zu lassen, müssen Sie den Raum selbst biegen und ihn in höheren Dimensionen rückwärts verdreht verbinden. Wenn Sie das tun, finden Sie sich schließlich am Ursprungspunkt wieder, ohne sich umzudrehen.
Sie können nicht einmal eine Klein-Flasche richtig herstellen, daher gibt es keine echte Darstellung dieses Raums, genauso wenig wie für einen Tesserakt, das 4-D-Analogon eines Würfels.
Hypnosifl