Wie man die Oberflächengravitation berechnet

Siehe hier.

Wie viel Schwerkraft willst du?

Nehmen wir an, ich kann 1 Meter auf der Erde springen (ich kann nicht). Dann war unter Verwendung von kinematischen Gleichungen meine Anfangsgeschwindigkeit nach oben

$$v_f^2 = v_i^2 + 2gd \rightarrow\sqrt{2gd}=4.4 \text{ m}/\text{s}.$$

Ich möchte, dass meine Fluchtgeschwindigkeit bequem darüber liegt, also sagen wir, die Fluchtgeschwindigkeit beträgt 10 m/s. Davon sollte man nicht abspringen können.

Die Fluchtgeschwindigkeit kann berechnet werden als

$$\Delta v = \sqrt{2gr}$$ wo $r$ist der Radius des Asteroiden und $g$ist die Oberflächengravitation, die selbst berechnet werden kann $$g = \frac{4}{3}\pi G\rho r$$ wie im obigen Link gezeigt. Setzen Sie die Fluchtgeschwindigkeit auf 10 und stecken Sie sie ein $$10 = \sqrt{\frac{8}{3}\pi \left(6.67\times10^{-11}\right) (2000) r^2} \rightarrow r = 9459.$$

Sie können nicht von einem Asteroiden mit einem Radius von 10 km springen. Wahrscheinlich.

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**Bearbeiten*: Dank Mithrandir24601 hätte ich auch die Masse berechnen sollen. Wie er es in den Kommentaren tut:

$$M = \frac{4}{3}\pi\rho r^3 = \frac{4}{3}(3.14)(2000)(9459)^3 \approx 7.1\times10^{15} \text{kg}$$

Die maximale Höhe, die ein Mann springen kann, liegt bei etwas über 70 cm für die besten Athleten. Denn es kommt nur darauf an, wie hoch dein Schwerpunkt liegt. Ich schätze 80cm.

Arbeit ist Kraft mal Weg. Gewicht ist die Kraft$W = gm_0$und wenn du eine Höhe springst$h$unter der Erdgravitation von 9,8 m/s mit einem Gewicht$m_0$,$E = hgm_0$ist die Arbeit, die die Schwerkraft geleistet hat, um Sie in Ihrer maximalen Höhe zum Stehen zu bringen (die gesamte kinetische Energie wird in potentielle Energie umgewandelt).

Die Arbeit, die Sie geleistet haben, um den Sprung einzuleiten, ist ebenfalls Kraft mal Distanz. Sie entspricht genau der potentiellen Gravitationsenergie an der Spitze des Sprungs. Wenn Sie auf einen Asteroiden springen, nehmen wir an, dass sich die Länge Ihrer Beine und Ihre Kraft nicht ändern (ein stoffbasierter Raumanzug hat eine Federung in den Beinen, daher ist dies eine Annäherung). Ihr verrichtet nämlich genauso viel Arbeit wie auf der Erde$E = 0.8m \times 9.8 m/s^2 \times m_0$.

Die Fluchtgeschwindigkeit ist gegeben durch (siehe Space Mission Engineering: The New SMAD, herausgegeben von Wertz, Everett & Puschell, 2011, S. 201)$V_e = \sqrt{2GM/R}$wo$G = 6.674 \times 10^{-11}m^3 kg^{-1}s^{-2}$ist die Gravitationskonstante, M die Masse des Zentralkörpers und R Ihr Abstand von seinem Mittelpunkt (ich nehme der Einfachheit halber an, dass er kreisförmig ist).

Dichte$\rho$liegt in der Region$1000kg/m^3$für eisige Körper u$3000kg/m^3$für Felsige. Im Fall eines Nickel-Eisen-Körpers nähern wir uns der Gesamtdichte an als$8000kg/m^3$.

Wir wollen den Durchmesser R eines Körpers berechnen, bei dem Ihre kinetische Energie bei Fluchtgeschwindigkeit gleich ist$E$Oben.

$$0.8m \times 9.8m/s \times m_0 = E = KE = 0.5m_0 \times V_e^2$$ $$0.8m \times 9.8m/s^2 = 0.5 \times V_e^2$$ $$15.68 m^2/s^2 = V_e^2 = 2GM/R$$ immer noch eine Kugel annehmen $$M = \rho \times V = \rho \times 4/3 \pi R^3$$ $$15.68 m^2/s^2 = 8/3 G \rho \pi R^2$$ $$\sqrt{(2.8 \times 10^{10} / \rho) m^{-1} kg } = R$$

Wenn wir die Dichten von oben einsetzen, erhalten wir grob$R_{icy} \approx 5300m$,$R_{rocky} \approx 3100m$,$R_{iron} \approx 1900m$.

Mal sehen, was mit Ihren Zahlen passiert. Der Astronaut kann immer noch die gleiche Menge Arbeit leisten, um zu springen, aber seine Masse wird es sein$m_1 = m_0 + m_{suit}$auf dem Asteroiden,$\rho = 2000kg/m^3$. Eine NASA-Studie aus dem Jahr 1996 (siehe The Origins and Technology of the Advanced Extravehicular Space Suit von GL Harris, American Astronautical Society History Series Volume 24, 2001, S. 455) spezifizierte eine maximale Druckanzugsbaugruppenmasse von 27 kg für Missionen zum Mars. Dies schließt die Lebenserhaltungssysteme aus, zum Vergleich hatte Apollo (siehe S. 440) 63,2 kg Lebenserhaltung auf einem Anzug von insgesamt 100 kg. Wir gehen davon aus, dass der zukünftige Anzug ein eng anliegender elastischer Anzug mit fast vollständiger Masse in Lebenserhaltung ist, der keine Federung in den Beinen gibt und nur massiert$m_{suit} = 30kg$gesamt. Hinweis: Sie haben dem Astronauten ein Gewicht von 30 kg gegeben. Dies ist ein kleines Kind, also gehe ich davon aus, dass stattdessen 70 kg beabsichtigt sind.

$$0.8m \times 9.8m/s^2 \times m_0 = E = KE = 0.5 m_1 \times V_e^2$$ $$0.8m \times 9.8m/s^2 \times 70kg = 0.5 \times 100kg \times V_e^2$$ $$10.976 m^2/s^2 = V_e^2 = 2GM/R = 8/3 G \rho \pi R^2 = 8/3 \times 6.674 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2} \times 2000 kg/m^3 \times \pi \times R^2$$ $$R^2 = 9.815 \times 10^6 m^2$$ $$R \approx 3100 m$$

Es liegt nur zufällig in der Nähe der obigen Gesteinskörper-Annäherung, weil die Zunahme der Masse durch die Abnahme der Schwerkraft ausgeglichen wurde.

Bearbeiten: Schließlich, da Sie Masse wollen:

$$M = 4/3 \pi R^3 \times \rho = 4/3 \times 2000kg/m^3 \times \pi \times (3100m)^3 = 2.50 \times 10^{14} kg$$

Diesmal wirklich endlich: Da Sie die Masse auf 80 kg aktualisiert haben und wir davon ausgehen können, dass eine Anzugmasse von 10 kg darin enthalten ist, würde sich die Antwort von meiner Antwort von 100 kg mit 30 kg Anzugmasse wie folgt ändern:

$$V_e^2 = 10.976m^s/s^2 \times 100kg/80kg = 13.720m^2/s^2$$ $$R \approx 3100m \times \sqrt{100kg/80kg} \approx 3500m$$ $$M = 2.50 \times 10^{14}kg \times (\sqrt{100/80})^3 = 3.6 \times 10^{14}kg$$