Was ist die physikalische Bedeutung der Zirkulation im Kutta-Zustand?

Das Kutta-Joukowski-Theorem ist für die 2D-Auftriebsberechnung anwendbar, sobald die Kutta-Bedingung verifiziert ist. Wenn dies der Fall ist, gibt es eine Zirkulation Γ um das Flugblatt herum . Meine Frage bezieht sich auf diese Zirkulation:

  • Was ist die physikalische Bedeutung des Kreislaufs? Γ , oft so dargestellt ( Beispiel 1 , Beispiel 2 , Beispiel 3 ): (Eigene Arbeit)

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Ich interessiere mich für eine einfache Erklärung der Zirkulation (bewegt sich Luft um das Tragflächenprofil? für Dummies) und wie hängt diese Zirkulation mit einer Ansicht des Luftstroms in einem Windkanal zusammen, in dem offensichtlich keine Luft im Uhrzeigersinn um das Tragflächenprofil strömt :

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Quelle: Youtube

Der Rest dieses Beitrags ist eine Darstellung der Zirkulationstheorie, die meine Frage motiviert und wie ich es verstehe, aber nicht Teil der Frage ist.

Die Kutta-Bedingung ist mit Stagnationspunkten verbunden, den Punkten, an denen sich Luftschläuche trennen, um auf einer bestimmten Seite des Schaufelblatts zu strömen, und wo sie sich hinter dem Schaufelblatt wieder vereinen. Die Kutta-Bedingung legt fest, dass der letztere Punkt mit der Flügelhinterkante zusammenfällt:

Wikipedia : Ein Körper mit einer scharfen Hinterkante, der sich durch eine Flüssigkeit bewegt, erzeugt um sich selbst herum eine Zirkulation von ausreichender Stärke, um den hinteren Staupunkt an der Hinterkante zu halten.

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(Eigene Arbeit)

Wenn sich das Schaufelblatt durch Luft bewegt, verschiebt die Zirkulation der Theorie zufolge den hinteren Staupunkt zur Hinterkante und hält ihn dann an dieser Position. An dieser Position ist die Zirkulation endlich und kann zur Berechnung des Auftriebs mit dem Satz von Kutta-Joukowski verwendet werden :

Wikipedia : Das Theorem bezieht den von einem Flügel erzeugten Auftrieb auf die Geschwindigkeit des Flügels durch das Fluid, die Dichte des Fluids und die Zirkulation um den Flügel herum. [...] Der Auftrieb pro Spannweiteneinheit L ' des Flügelprofils ist gegeben durch:

L ' = − ρ ∞ v ∞ Γ

wo ρ ∞ Und v ∞ sind die Fluiddichte und die Fluidgeschwindigkeit weit stromaufwärts des Strömungsprofils, und und Γ ist die als Linienintegral definierte Zirkulation

Γ = ∮ C v ⋅ D s

um eine geschlossene Kontur C umschließt das Schaufelblatt und folgt in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn).

Dieses Video zeigt, wie ein Tragflügel Wirbel abwirft, aber das hat wenig mit der Hauptfrage zu tun, die wie folgt formuliert werden kann: Dreht sich ein Staubkorn, das sich inmitten dieser "Zirkulation" befindet, wirklich um den Flügel ...? oder ist die Kutta-Joukowski-Zirkulation nur eine nützliche mathematische Konstruktion ...?

Antworten (3)

Die Zirkulation einer Flüssigkeit um ein Objekt selbst erzeugt keinen Auftrieb. Das klassische Beispiel dafür ist der sich drehende Zylinder ohne andere Luftströmung. Die Viskosität bewirkt, dass die Flüssigkeit in der Nähe eines Zylinders, der sich im Uhrzeigersinn dreht, im Uhrzeigersinn um den Zylinder zirkuliert. Wenn ein horizontaler Fluss von links nach rechts eingeführt wird, ergibt sich eine Vektorsumme der beiden Flüsse. Dies führt zu den Stagnationspunkten nahe 8 Uhr und 4 Uhr (im Gegensatz zu dem Zylinder ohne Drehung in der Strömung von links nach rechts mit den Stagnationspunkten bei 9 und 3 Uhr). Das Nettoergebnis davon ist der Magnus-Effekt, bei dem Auftrieb in 12-Uhr-Richtung erzeugt wird.

In Ihrem ersten Diagramm (typischer reibungsfreier Fluss) gibt es keine Zirkulation. Die Form des Schaufelblatts bei viskoser Strömung bewirkt, dass sich der hintere Staupunkt zur Hinterkante bewegt (zweites Bild – die Kutta-Bedingung). Dies hat die gleiche Wirkung auf den Luftstrom wie das Drehen des Zylinders, indem es eine Zirkulation im Uhrzeigersinn um das Schaufelblatt erzeugt.

Das Linienintegral beschreibt für eine beliebige geschlossene Kontur um das Objekt das Skalarprodukt des Fluidströmungsgeschwindigkeitsvektors mit dem sich um die Kontur bewegenden Vektorpfad. Die einfachste zu analysierende Kontur wird erstellt, indem man Strömungslinien über und unter dem Schaufelblatt folgt und sie vor und nach dem Schaufelblatt mit Linien verbindet, die senkrecht zu den Stromlinien verlaufen.

Da das Skalarprodukt senkrechter Vektoren 0 ist, ist das Integral entlang senkrechter Abschnitte der Kontur 0. Das Skalarprodukt paralleler Vektoren ist nur die Multiplikation der Skalarwerte, und da die Richtung der Kontur zwischen oben und unten umgekehrt ist Optimieren Sie den Effekt, indem Sie den einen addieren und den anderen subtrahieren. Aufgrund von Längenunterschieden und unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten (Bernoulli...) entlang der Kontur ist das Integral ungleich Null. Diese Zahl stellt die effektive Nettozirkulation um das Schaufelblatt dar (Gesamtströmung abzüglich der horizontalen Strömung).

Das Interessante ist, dass, wenn Sie die Kontur hinter dem Schaufelblatt weit genug verlängern, um den Nachlauf des Schaufelblatts vom Beginn der Bewegung an einzuschließen, die Zirkulation Null ist, da die Zirkulation des Gesamtnachlaufs der Vektor ist, der der Zirkulation um das Schaufelblatt entgegengesetzt ist.

Es gibt kein Molekül in der Luft, das sich tatsächlich so um das Schaufelblatt dreht, wie Sie es sich normalerweise vorstellen würden. Zirkulation ist ein mathematisches Konzept, das verwendet wird, um die Bewegung der Luft von einem an den Flügel gebundenen Bezugsrahmen zu erklären. Es ist nützlich, um die relative Bewegung über und unter dem Flügel zu verstehen.

Eine ähnliche Situation könnte eine Person sein, die auf das Ende eines Zuges zugeht. Die Person kann mit 2 mph gehen und der Zug fährt mit 80 mph, fährt die Person also vorwärts oder rückwärts? Die Antwort hängt von Ihrem Bezugsrahmen ab: rückwärts, wenn Sie im Zug sitzen, vorwärts, wenn Sie an den Gleisen stehen. Fragen Sie nicht einmal nach der Richtung aus dem Weltraum.)

Die einfachste Vorstellung davon ist, dass sich der Luftstrom über dem Flügel schneller bewegt als der unter dem Flügel, was dem Flügel seinen Auftrieb verleiht. Die Ursache ist unerheblich. Nehmen Sie zur Veranschaulichung an, dass ein Mach 0,8-Flugzeug einen Luftstrom von Mach 0,88 über seinem Flügel und Mach 0,72 darunter hat. Alle Moleküle bewegen sich zur Hinterkante. Wenn Sie diese beiden Strömungen vergleichen möchten, ist es nützlich, die Vorwärtsgeschwindigkeit des Flugzeugs von 0,8 abzuziehen, wobei Mach +0,08 über dem Flügel und -0,08 darunter bleibt, was die Zirkulation definiert. Die negative Geschwindigkeit (vorwärts) unterhalb des Flügels existiert nur mathematisch.

Interessante Analogie zum Zug, aber dieses Umlaufkonzept ist mir noch nicht ganz klar. Denn aus der relativen Position eines Beobachters auf dem Flügel bewegen sich die Luftmoleküle immer noch von der Vorderkante zur Hinterkante. Können Sie mir helfen, besser zu verstehen, was das bedeutet?
@MichaelHall Die einfachste Art, sich das vorzustellen, ist, dass sich der Luftstrom über dem Flügel schneller bewegt als der unter dem Flügel, was dem Flügel seinen Auftrieb verleiht. Die Ursache ist unerheblich. Nehmen Sie zur Veranschaulichung an, dass ein Mach 0,8-Flugzeug einen Luftstrom von Mach 0,88 über seinem Flügel und Mach 0,72 darunter hat. Alle Moleküle bewegen sich wie vermutet zur Hinterkante. Wenn Sie diese beiden Strömungen vergleichen möchten, ist es nützlich, die Vorwärtsgeschwindigkeit des Flugzeugs von 0,8 abzuziehen, wobei Mach +0,08 über dem Flügel und -0,08 darunter bleibt, was die Zirkulation definiert. Die negative Geschwindigkeit (vorwärts) unterhalb des Flügels existiert nur mathematisch.
Danke, verstanden!
Nur weil es eine Nettozirkulation gibt, bedeutet das nicht, dass sich die Flüssigkeit um das Schaufelblatt dreht. Das ist nicht die Definition ist Zirkulation.

Ich mag die Antwort von @ Gerry sehr. Es veranschaulicht sehr gut das Prinzip des Auftriebs durch die Potentialtheorie.

Ich möchte hinzufügen, dass Zirkulation nicht bedeutet, dass Flüssigkeitspartikel um das Schaufelblatt rotieren. Tatsächlich hätte selbst ein einfacher rotierender Zylinder in einer reibungsfreien/drehungsfreien Strömung gut definierte Stromlinien, die von stromaufwärts nach stromabwärts fließen.

Vielmehr ist die integrale Definition der Zirkulation im OP auf einer geschlossenen Kontur um das Geschwindigkeitsvektorfeld herum definiert , nicht auf einer Flugbahn irgendeines Fluidpartikels. Intuitiv veranschaulicht die Zirkulation also, wie sehr sich eine gleichmäßige Strömung gedreht hat.

Von Wolfram

Stromlinien des rotierenden Zylinders

Mein bisheriges Verständnis: Zirkulation ist eine mathematische Zirkulation eines Feldes von Vektoren um eine Kontur (nichts Physikalisches). Wir können eine holomorphe Transformation davon verwenden, um dies zu erhalten . Das Verschieben des hinteren Staupunkts zum nachlaufenden Punkt startet den Abwind und erzeugt einen transienten entgegengesetzten tatsächlichen / physikalischen Wirbel dahinter, der dann verschwindet ( mehr ). Aber das ist nicht so klar, deshalb ist noch keine Antwort ausgewählt.
@mins Hast du einen Hinweis darauf, wer gesagt hat, dass diese beiden holomorph sind? Der erste ist ein nicht anhebender Zylinder. Wie von Gerry erklärt, ist die Zirkulation um den Zylinder null. Der zweite hat eine Zirkulation ungleich Null, wenn Sie das Schaufelblatt mit einer geschlossenen Kurve umschließen. Die Staupunkte sind nicht die Ursache für die Zirkulation. Wenn Sie erklären, was nicht klar ist, können wir unsere Antworten vielleicht anpassen.
Ich habe mehrere Erwähnungen von konformer Abbildung gefunden (zB bei Nasa ), die laut dieser (Ende der zweiten Seite) eine holomorphe Funktion ist.
@mins Ja, Sie können die Zirkulation eines Tragflügels in die eines rotierenden Zylinders umwandeln. Aber das erste Bild in Ihrem vorherigen Kommentar war ein nicht rotierender Zylinder. Es gibt also keine Zuordnung zwischen den beiden. Die Kutta-Bedingung gibt vor, wo der Stagnationspunkt auf dem Strömungsprofil sein sollte, verursacht aber selbst keinen Auftrieb. Zirkulation tut es.
Ok, ich habe dieses Bild von einer Seite (leider auf Französisch), auf der sich der Zylinder nicht drehte, aber eine holomorphe Transformation erwähnt wurde.
@mins Wenn wir von holomorpher Transformation sprechen, sprechen wir von einer Koordinatentransformation. Sie können den Zylinder ohne jegliches Konzept der Strömungsdynamik in jede Tragflächenform drehen. Als nächstes sind, wie in Ihrem zweiten Artikel erwähnt, Singularitäten (dh Quelle, Senke, Wirbel) in den ursprünglichen Koordinaten immer noch Singularitäten in den verdrehten Koordinaten. Die Tragflächenstromlinien, auf die Sie sich in dem französischen Artikel beziehen, sind die von Dubletten. Ich wette, wenn Sie die Auflage berechnen, ist sie null. Wenn Sie weiterlesen, fängt es an, von Zirkulation und Wirbelströmung zu sprechen.
@mins Können Sie bitte Ihr OP ändern, um weitere Verwirrungen aufzunehmen, die Sie haben und die zum aktuellen Stand nicht beantwortet wurden?
Was ist die physikalische Bedeutung der Zirkulation im Kutta-Zustand?
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