Was ist die rotverschobene Amplitude einer Gravitationswelle?

GR sagt uns, dass eine Gravitationswelle (GW) beim Durchgang der Welle die als Dehnung bezeichnete Transformation (= Bruchteil der Längenänderung) durchführt. Rotations-, Boost- und Strain-Transformationen gehören zur Gruppe SL(4). Rotationen und Boosts bilden die Lorentz-Gruppe, die eine Untergruppe von SL(4) ist. Zuerst erweitern wir die Lorentz-Gruppe auf alle Transformationen von SL(4), indem wir die restlichen Parameter darüber hinaus spezifizieren$\vec{\theta} \ and \ \vec{\lambda}$, und beschreiben Sie, was die Transformationen bewirken. Dann können wir einfach beantworten, was ein geboosteter Beobachter bei einem GW sieht.

$$\begin{align} \Theta_j^{\ \ \ i} & =-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & \theta_3 &-\theta_2 & \mu_1 \cr -\theta_3 & 0 & \theta_1 & \mu_2 \cr \theta_2 &-\theta_1 & 0 & \mu_3 \cr -\mu_1 & -\mu_2 & -\mu_3 & 0 \end{bmatrix} _{Asym} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} h_{+1} & h_{X3} & h_{X2} & \lambda_1 \cr h_{X3} & h_{+2} & h_{X1} & \lambda_2 \cr h_{X2} & h_{X1} & h_{+3} & \lambda_3 \cr \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & h_{+4} \end{bmatrix} _{Sym}\\ \\ Group\quad element & =e^{\Theta_j^{\ i}J_i^{\ j}} \quad where \quad [J_i^{\ j},J_k{\ ^l}]=(\delta_i^{\ l} J_k^{\ j}-\delta_k^{\ j} J_i^{\ l}) \quad\quad i,j=1...4 \\ det(e^{\Theta_j^{\ i}J_i^{\ j}}) & =1 \quad \Rightarrow \quad Trace(\Theta)=0=h_{+1}+h_{+2}+h_{+3}+h_{+4} \end{align}$$

In der 4x4-Darstellung jeder Generator$J_i^{\ j}$ist eine 4x4-Matrix mit einer 1 in (Zeile i, Spalte j). Dann wird das Gruppenelement zu einer 4x4-Matrix$M=e^{\Theta}$.

Die Co-Varianten- (nach unten) und Contr-Varianten- (nach oben) Indizes an$\Theta$Und$J$angeben wie$\Theta$Und$J$transformieren, wenn sie von einem anderen Frame aus betrachtet werden.

$$\Theta'=M\Theta M^{-1} \quad J'=MJM^{-1}$$

$\vec\theta=\theta \hat{n}_\theta \quad$Wo$\theta$ist der Rotationswinkel (im Bogenmaß) um den Einheitsvektor$\hat{n}_\theta$(Rechte-Hand-Regel).

$\vec\lambda=\lambda \hat{n}_v \quad$Wo$\lambda=\tanh^{-1}(v/c)$ist die Verstärkung (im Bogenmaß) in Richtung des Geschwindigkeitseinheitsvektors$\hat{n}_v$.

$\vec\mu \quad$sind Rotationswinkel (im Bogenmaß) eines 4-Vektors in einer Raum-Zeit-Ebene. Zum Beispiel,

$$x'=\cos{\mu_1}\ x+\sin{\mu_1}\ ct \\ ct'= -\sin{\mu_1}\ x + \cos{\mu_1}\ ct$$ Mit Raum-Zeit-Rotationen haben wir uns in der Physik bisher noch nicht beschäftigt. Die Transformationen sind nicht Teil der Lorentz-Gruppe und verlassen sie nicht $x^2-(ct)^2$unveränderlich.

$h_{...}\quad$dies sind die Raum-Raum-Dehnungen und die Zeit-Zeit-Dehnungen (in Radiant). Sie wurden genauso tiefgestellt wie Gravitationswellen. Zum Beispiel,$h_{+1}$streckt ein Objekt in x-Richtung und$h_{X1}$quaderförmig ein Objekt in der xy-Ebene. Dies sind die beiden "Gravitationswellen-Polarisationen" für ein in z-Richtung reisendes GW.

Beachten Sie das, weil die Boosts$\vec{\lambda}$gehören zum symmetrischen Teil von$\Theta$, sie sind Dehnungen (keine Drehungen). Deshalb expandieren

$$M=e^{\Theta}=I+\Theta+\dfrac{\Theta^2}{2!}+ \dfrac{\Theta^3}{3!}+ \dfrac{\Theta^4}{4!} +…$$ denn Boosts ergeben eher coshs und sinhs als coss und sins. Die Physiker der "alten Zeit" verkomplizierten die Algebra und führten die imaginären Winkel ein $i\vec{\lambda}$so konnten sie weiterhin orthogonale Gruppenrotationen mit sin's und cos's imaginärer Winkel durchführen. Es wäre unnötig verwirrend, dieses historische Artefakt hier fortzusetzen.

All dieser wahrscheinlich ungewohnte Auftakt war, um die Frage beantworten zu können: "Wenn ein GW eine Belastung macht (z. B. auf LIGO), was sieht ein geboosteter Beobachter?" Dies kann nun durch einfaches Transformieren beantwortet werden$\Theta$durch einen Schub$\lambda$zu bekommen$\Theta'$.

Die Frage bittet um einen Schub in die gleiche Richtung, in die der GW reist. Nehmen wir also an, dass beide in z-Richtung liegen und daher die GW-Dehnungen in der xy-Ebene liegen:

$$\begin{align} \Theta{'} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & \cosh{\lambda} &-\sinh{\lambda} \cr 0 & 0 &-\sinh{\lambda} & \cosh{\lambda} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_+ & h_X & 0 & 0 \cr h_X & -h_+ & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & \cosh{\lambda} & \sinh{\lambda} \cr 0 & 0 & \sinh{\lambda} & \cosh{\lambda} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} h_+ & h_X & 0 & 0 \cr h_X & -h_+ & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align}$$

Beachten Sie, dass die Dehnungsamplituden unverändert sind! Daher lautet die Antwort auf die ursprüngliche Frage, dass die GW-Amplituden für einen Beobachter unverändert erscheinen, der in die gleiche Richtung verstärkt wird, in der sich das GW bewegt.

Dies ist völlig anders als die Transformation der transversalen elektrischen und magnetischen Felder einer EM-Welle. Wir sehen dies, indem wir den EM-Feldtensor F von transformieren$\vec{E},\vec{B}$zu einem in z-Richtung verstärkten Rahmen. Die EM-Welle geht also in die z-Richtung$E_z=B_z=0$.

$$\begin{align} F' & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & \cosh{\lambda} &-\sinh{\lambda} \cr 0 & 0 &-\sinh{\lambda} & \cosh{\lambda} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -cB_y & E_x \cr 0 & 0 & cB_x & E_y \cr cB_y & -cB_x & 0 & 0 \cr E_x & E_y & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & \cosh{\lambda} & \sinh{\lambda} \cr 0 & 0 & \sinh{\lambda} & \cosh{\lambda} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 0 & 0 &-\gamma(cB_y-\beta E_x) &\gamma(E_x-\beta cB_y) \cr 0 & 0 & \gamma(cB_x+\beta E_y) &\gamma(E_y+\beta cB_x) \cr \gamma(cB_y -\beta E_x) &-\gamma(cB_x+\beta E_y) & 0 & 0\cr \gamma(E_x -\beta cB_y) & \gamma(E_y+\beta cB_x) &0 & 0 \end{bmatrix}\end{align}$$

wo die Substitutionen$\gamma=\cosh{\lambda}$Und$\beta\gamma=\sinh{\lambda}$wurden gemacht.

Da der Boost in die gleiche Richtung geht, in die sich das GW bewegt, ist die Frequenz des GW, die der geboostete Beobachter sieht, rotverschoben, genau wie bei einer EM-Welle.

$$\nu’=\frac{\nu}{1+z}=e^{-\lambda}\nu$$