Was ist diese Matrix/Operator-Notation ⊗⊗\otimes?

Es ist das Outer/Tensor-Produkt und definiert durch$u \otimes v = uv^\top$Alternativ können Sie es sich auch als Funktion vorstellen

was du natürlich bekommst, wenn du multiplizierst$uv^\top$Und$x$zusammen.

Hinweis: Es gibt auch ein Kronecker-Produkt, das das gleiche Symbol verwendet und die Beziehung ist

Das Kronecker-Produkt zweier Spaltenvektoren$(a_i), (b_j)$ist ein Vektor, dessen$(in + j)$-ten Eintrag ist$a_ib_j$. Das äußere Produkt ist eine Matrix, deren$(i,j)$-ten Eintrag ist$a_ib_j$.

Insbesondere wenn u und v als "Spalten" -Matrizen geschrieben werden,$u= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$Und$v= \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$, Dann$v^T= \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}$, eine "Zeilen"-Matrix und$uv^T= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \end{pmatrix}$, eine 3 mal 3 Matrix.