Ist die Pfeilnotation für Vektoren "mathematisch nicht ausgereift"?

Ein Zeichen mathematischer Reife ist das Bewusstsein, dass die Wahrheit bei Änderungen der Notation unveränderlich ist.

Ein Hauptproblem beim Markieren von Vektoren mit einem Pfeil ist, dass es kontextabhängig ist, was als Vektor betrachtet wird.

Lassen Sie uns entscheiden, ob wir ein Element markieren$\mathbb{R}^3$als Vektor, so schreiben wir$\vec{v}$dafür. Nun wollen wir es mit a multiplizieren$3\times 3$Matrix, da es sich um eine Matrix handelt, gibt es keinen Pfeil, oder doch? Immerhin die$3\times 3$Matrizen bilden einen Vektorraum und manchmal verwenden wir diese Struktur. So,$\vec{A}$?

Zum Beispiel, wenn wir das für zeigen$P$das charakteristische Polynom, das wir haben$P(\vec{A})= 0$. Warten Sie, haben wir die Polynome nicht als Beispiel für einen unendlich dimensionalen Vektorraum gesehen? Sollte dort auch ein Pfeil platziert werden? Dann können wir haben$\vec{P}(\vec{A})\vec{v}$!

Ich habe versucht, das etwas spielerisch zu schreiben. Aber der gravierende Punkt ist, dass man beim Rechnen wirklich ziemlich häufig den Blickwinkel wechselt, und der Begriff „Vektor“ ist nicht so eindeutig, da viele Strukturen (auch) Vektorraum sind.

In der etwas fortgeschritteneren (reinen) Mathematik ist es daher nicht sehr üblich, die Notation mit einem Pfeil zu verwenden, um Elemente gezielt als Vektor zu kennzeichnen. Aber wenn es in irgendeinem Kontext nützlich erscheint, ist es auch kein Problem.

Wie Nox sagte, es liegt an Ihren Vorlieben.

Normalerweise ist es in Ordnung, keinen Pfeil über Ihren Vektoren zu haben, solange Sie definieren, dass es sich um Vektoren handelt. Obwohl Sie es auf jeden Fall als Vektor mit oder ohne Pfeil definieren sollten. Sobald Sie sagen "v sei ein Vektor", wird kein Pfeil benötigt. Wenn ich mich richtig erinnere, hat einer meiner Professoren für lineare Algebra keine Pfeile verwendet, während mein anderer Professor, der Algebraist ist, Pfeile verwendet. Wenn Sie viele Skalare und Vektoren verwenden, kann die Verwendung von Pfeilen praktisch sein. Auch hier ist es eine Frage der Vorlieben, der Bequemlichkeit und der "Situation", in der Sie sich befinden. Wenn es zahlreiche Skalare und Vektoren gäbe, mit denen ich es zu tun hätte, würde ich Pfeile verwenden, damit es einfacher ist, zu erkennen, welcher ein Vektor ist und welcher nicht .

Die Notation weist auf eine gewisse mathematische Reife hin, sagt aber nicht viel aus. Ich denke, Präzision ist ein wichtigerer Faktor. Ein "reifer" Mathematiker könnte einen Pfeil über v setzen, ohne es zu definieren (obwohl wir uns darüber lustig machen, ich bezweifle, dass es einen solchen Mathematiker gibt - es ist eine mittelmäßige Praxis). Ein reiferer Mathematiker würde am Anfang definieren, was er unter v-Pfeil (oder einfach v) versteht. Definieren Sie also, was Sie meinen, und Sie sind auf der sicheren Seite.

Viele genaue Antworten, aber ich möchte dieses Gefühl in Frage stellen:

Letztendlich möchte ich nur eine Ja- oder Nein-Antwort, damit ich zumindest nicht wie ein unreifer Schriftsteller wirke, wenn ich eines Tages meine eigenen Arbeiten schreibe.

Es gibt viel zu viel mathematisches Schreiben, das verschleiert wird, weil der Autor modisch erscheinen möchte. Wenn dieses Problem jemals auftaucht, fragen Sie sich, ob Ihre Arbeit mit oder ohne Notation einfacher zu lesen ist, und schreiben Sie entsprechend. Das sollte die einzige Frage sein.

Nein. ( Dies sind Füllzeichen, um die 30-Grenze zu erreichen .)

A$2\times2$reelle Matrix ist ein Vektor im Vektorraum von$2\times2$Matrizen. Das Polynom$t^2+t+3$ist ein Vektor im Vektorraum von Polynomen höchstens dreiten Grades. Die Funktion$\sin(x)$ist ein Vektor im Raum stetiger Funktionen. Sollen wir Pfeile darauf setzen?

Das Problem ist, dass fast alles ein Vektor ist.

Ich denke, die Verwirrung liegt im Begriff "Vektor". Die meisten Leute denken zuerst an ein Element in$\mathbb{R}^n$wenn sie Vektoren hören - vielleicht wurden sie in der Schule mit solchen Vektoren vertraut gemacht, oder sie sind einfach die häufigsten, mit denen sie arbeiten. Und dann macht der Pfeil über dem Symbol durchaus Sinn.

Aber in der Mathematik wird ein Vektor als ein Element in einem Vektorraum definiert, und das kann so ziemlich jede Struktur sein.$\mathbb{R}^n$ist nur das häufigste Beispiel, aber auch Funktionen, Matrizen, jedes Feld (also insbesondere Skalare) und viele mehr sind Vektoren.

Soweit es mich betrifft, wenn Sie also sagen "lassen$v$sei ein Vektor", wäre ein Pfeil irreführend, wenn nicht sogar falsch, da er das falsche Bild impliziert: auf keinen Fall$v$muss ein "Pfeil" sein.

Ich denke, es ist in gewissem Sinne ein Reifeproblem, nämlich dass Sie bei der ersten Einführung in Vektoren wahrscheinlich zum ersten Mal der Tatsache ausgesetzt sind, dass es zwei verschiedene Operationen gibt, die beide als Multiplikation bezeichnet werden und beide gleich geschrieben sind Weg . Sie müssen lernen, dass Sie Skalar mit Skalar oder Vektor mit Skalar multiplizieren können, aber nicht Vektor mit Vektor. Und am besten verstehen, warum. Dasselbe Problem für die Addition, Sie können zwei Skalare oder zwei Vektoren hinzufügen, aber keinen Vektor zu einem Skalar.

Daher gibt es eine kritische Phase, in der Sie sehr verwirrt werden, wenn Sie nicht sorgfältig zwischen ihnen unterscheiden. Konsequentes Schreiben von Vektoren und Skalaren wird dabei wahrscheinlich helfen.

Sobald Sie jedoch den Unterschied verstehen und sich daran gewöhnt haben, sie in Ihrem Kopf zu unterscheiden, ist es weniger nützlich, sie sehr unterschiedlich zu schreiben, und kann zu einem lästigen Overhead werden. Das Reservieren von Buchstaben hilft immer noch und reicht normalerweise aus, um sich daran zu erinnern, was alles ist. Es fühlt sich also zu viel an, überall Pfeile oder Unterstreichungen zu setzen. In gesetztem Text verwenden Sie möglicherweise weiterhin Fettdruck für Vektoren, da dies die Dinge auf der Seite nicht viel beschäftigter erscheinen lässt, aber beim Schreiben denke ich, dass die meisten Leute es fallen lassen.

Ich glaube jedoch nicht, dass diejenigen, die es nicht fallen lassen, unreif sind, nur dass diejenigen, die unreif sind, es wahrscheinlich noch nicht fallen lassen sollten.

Darüber hinaus müssen Sie sich, wie die Antwort von quid sagt, irgendwann mit mehr als einem Vektorraum gleichzeitig befassen. An diesem Punkt reicht es ohnehin nicht aus, eine Notationskonvention zu haben, die "Vektoren in meinem Vektorraum" von "allem anderen" unterscheidet. Wenn Sie also reifer werden, müssen Sie sich auf andere Mittel verlassen, um zu verstehen, welche Art von Entität alles ist.

Vielleicht nicht zum Thema, aber es gibt eine verwandte Sache in der Computerprogrammierung namens "Ungarische Systemnotation", bei der jeder Variablenname ein Präfix enthält, das den Datentyp der Variablen angibt. Fast jeder hasst das, weil es in der Praxis zu viele Wiederholungen derselben Informationen sind. Es ist eigentlich ziemlich schwierig, die "richtige" Balance zu finden, weil es Geschmackssache ist. Verwenden von mathematischen Großbuchstaben für spezielle Entitäten$\mathbb{R}$, lateinische vs. griechische Buchstaben für Vektoren vs. Skalare,$n$für eine ganze Zahl,$q$für eine vernünftige,$x$für eine echte,$v$für einen Vektor,$a$für einen Koeffizienten und$f$für eine Funktion, Großbuchstaben für Matrizen, alles scheint für die meisten Mathematiker vollkommen sinnvoll zu sein, obwohl keines wesentlich ist. Das Aufhängen von Dekorationen an Ihren Briefen fängt jedoch an, eine Grenze zu überschreiten, und so stören sich weniger Leute daran.

Ich werde mich hier dem Konsens widersetzen und sagen, dass ja , wenn alle anderen gleich sind, das Setzen von Pfeilen auf Vektorgrößen ein leichtes Signal dafür ist, dass entweder der Autor oder das beabsichtigte Publikum angehende Studenten oder Physiker sind.

Es gibt mehrere Gründe, warum "reifere" Mathematikautoren die Notation vermeiden:

• Beim Schreiben von Tex einen Pfeil über alles zu setzen, wird sehr schnell lästig;
• Wenn die Arbeit gut geschrieben ist, sollte es keine Verwirrung darüber geben, was ein Vektor oder eine skalare Größe ist, unabhängig vom Vorhandensein des Pfeils;
• Das Leerzeichen über den Variablennamen ist wertvoller Grund und der Pfeil steht im Konflikt mit Hüten, Tilden usw., die Sie möglicherweise stattdessen für einige Variablen verwenden möchten.

Aber auch hier ist es nur ein schwaches Signal. Verwenden Sie die Schreibweise, die Sie für am besten halten, um sicherzustellen, dass Ihr Schreiben von Ihrem Publikum leicht verstanden werden kann.

Durch meine Erfahrung,$\overset{\rightharpoonup}{v}$Und$\mathbf{v}$werden häufiger in Natur- und Ingenieurwissenschaften (sogar auf Forschungsebene) verwendet. Dies erklärt, warum sie häufig in Mathematikkursen der Unterstufe verwendet werden, da die meisten Klassen zu diesem Zeitpunkt kein Hauptfach Mathematik sind. Im Laufe der Mathematik sehen Sie allmählich Vektorräume wie reelle Zahlen und Funktionenräume, und es macht weniger Sinn, Vektoren als „anders“ als die anderen Dinge zu betrachten, mit denen Sie arbeiten. Sobald Sie das Wort "Modul" oft genug hören, ist die Notation fast vollständig verschwunden. Die einzigen Ausnahmen, die ich gesehen habe, sind in der Differentialgeometrie und der angewandten Mathematik. Ich denke nicht, dass die Notation so sehr mathematisch unausgereift ist, wie sie mit "räumlichem" Denken verbunden ist.

Meiner Erfahrung nach ist diese Frage wirklich genau das: Notation.

Wählen Sie eine aus und bleiben Sie dabei (zumindest in jeder Veröffentlichung). Die meisten meiner Bekannten, die Mathematiker sind, überspringen einfach die Pfeile sowie Indizes (dh$L^2$In$||\cdot||_{L^2}$) mit dem ausdrücklichen Hinweis, dass es offensichtlich ist.

Ich ziehe es aus Gründen der Übersichtlichkeit vor, die Pfeile beizubehalten, aber es kann mühsam sein, sie weiter zu schreiben, wenn Sie viele Vektoren (und nur Vektoren) haben.

In einem Kurs über lineare Algebra neigt man dazu, die Pfeile wegzulassen, weil die Notation sonst umständlich wird, aber es ist nichts falsch daran, sie zu verwenden.

Ein möglicher Vorteil der Pfeilnotation zur Bezeichnung von Vektoren in$\mathbb{R} ^3$ist das, wenn Sie den Vektor verwenden$\vec{v}$, dann kann sein Modul geschrieben werden als$v$, anstatt$\vert v\vert$.

Jedenfalls akzeptiert die ISO 31-11 beides$\mathbf{v}$Und$\vec{v}$. Die APS empfiehlt nur Fettschrift.

Es scheint mir, dass die Pfeilnotation in Lehrbüchern für Studenten (und wage ich zu sagen Ingenieurwissenschaften?) verwendet wird, um in der Notation zu betonen, dass die Variable nicht einfach ein Skalar ist.

@august hat richtig angegeben, dass es überflüssig ist, die Notation als Erinnerung bereitzustellen, sobald wir "Let v be a vector" sagen.

Mathematiker verwendeten jedoch den Ausdruck "Let x be a Foo" für eine Vielzahl von Werten von "Foo", und diese "Foo" werden immer abstrakter. Dies ist vergleichbar mit elementarer Mathematik, wo uns mathematische Objekte beigebracht werden, die wir mit der greifbaren physischen Welt in Beziehung setzen können.

Es scheint mir also, dass die Verwendung oder das Gegenteil der Pfeilnotation ein natürlicher Nebeneffekt der "mathematischen Reife" sein könnte - na und? Daran ist nichts auszusetzen.

Ich würde vorschlagen, dass Sie bei der Entscheidung, ob Sie es verwenden oder nicht, an das Verständnis Ihrer Leserschaft für das denken sollten, was Sie geschrieben haben, und nicht an einen persönlichen Eindruck, den sie möglicherweise ziehen. Wenn die Pfeilnotation ihnen die Dinge klarer macht, verwenden Sie sie.

Zumindest in der Physik werden sehr oft Vektoren als solche durch Pfeile (oder Unterstriche und doppelt unterstrichene Matrizen) gekennzeichnet, da man regelmäßig auch deren Absolutwerte benötigt, die dann einfach als gleiche Variable ohne Dekoratoren geschrieben werden, z

Ich würde sagen, das Wichtigste beim Schreiben von Mathematik ist, dass Ihre Notation klar ist. In Büchern und Aufsätzen ist die Standardnotation (zumindest in den Büchern, die ich gelesen habe) Fett für Vektoren und normale Buchstaben für Skalare zu verwenden, aber wenn wir an die Tafel schreiben, können wir nicht wirklich fette Zeichen schreiben, so dass verschiedene Dozenten es verwenden verschiedene Stile, um Vektoren anzuzeigen. Welche Sie verwenden, liegt bei Ihnen (ich habe Pfeile, Unterstreichungen und Überstreichungen gesehen), solange Sie konsistent sind und Ihre Notation zu Beginn klar erklären. Für getippte Mathematik sagte ich, der Standard ist fett. Das bedeutet nicht, dass Pfeile falsch sind, aber sie kommen häufiger in Texten vor, die sich an Ingenieure oder Physiker richten, wo Vektoren im Allgemeinen etwas mit einer Größe und Richtung bedeuten. Ein gutes Zeichen mathematischer Reife ist meiner Meinung nach Klarheit. Solange Sie sich über Ihre Notation im Klaren sind,

Eine Möglichkeit, dies zu vermeiden, ist die Verwendung griechischer Buchstaben für Skalare.

Es gibt einen Grund, warum ich es vermeide, nämlich, dass ich fast meine gesamte Mathematik von Hand schreibe, in großen Mengen schreibe, und es mich verlangsamt, die Pfeile über mir zu schreiben. Es hilft mir, detaillierte Gedanken schnell zu formulieren, wenn ich zum Schreiben dieser Notizen dieselbe Notation verwende, die ich verwenden würde, wenn ich einen vollständigen Beweis oder eine Argumentation von einem vorbereiteten Standpunkt aus schreibe. Fettdruck ist nicht besser, zumindest aus Gründen der Geschwindigkeit (Vielleicht Klarheit? Ich habe eine kritzelnde Handschrift.), Aber etwas Kalligrafie zu kennen hilft besonders beim Schummeln und um Unterscheidungen innerhalb des Textes klar zu halten. Wie auch immer, wenn ich nicht zwei Sätze von Dingen habe, die dieselben Buchstaben verwenden, verwende ich einfach schlichte, federleichte Buchstaben und zeichne sie einfach formal sauber. Ich habe das Gefühl, dass ich damit nicht allein bin und dass die Übernahme dieser Praxis diejenigen beeinflussen würde, die ihrer Wirkung auf einen Autor ausgesetzt sind. s-Stil, was eine weitere Erklärung für die große Anzahl von Autoren wäre, die keine Pfeile oder Fettschrift verwenden, um Vektoren von anderen Dingen zu unterscheiden. Es ist auch normal, wenn jemand dies nicht tut, nur weil er nicht das Bedürfnis verspürt, die Namen von Vektoren von den Namen von Skalaren zu unterscheiden, oder eine andere Notation gewählt hat, die ausreicht, um Vektoren und Skalare in einer Formel zu unterscheiden, wie z. B. ein dediziertes Symbol und Reihenfolge der Argumente für den Skalarmultiplikationsoperator (nützlich, um über Ringe als Modul über sich selbst zu sprechen). Der Hut über Einheitsvektoren oder nur Normalisierungen anderer Vektoren ist andererseits nützlich, um die Anzahl der Symbole klein zu halten und anhand des Namens anzuzeigen, wenn die Dinge verwandt sind. Verwenden Sie keine Pfeile oder Fettschrift, um Vektoren von anderen Dingen zu unterscheiden. Es ist auch normal, wenn jemand dies nicht tut, nur weil er nicht das Bedürfnis verspürt, die Namen von Vektoren von den Namen von Skalaren zu unterscheiden, oder eine andere Notation gewählt hat, die ausreicht, um Vektoren und Skalare in einer Formel zu unterscheiden, wie z. B. ein dediziertes Symbol und Reihenfolge der Argumente für den Skalarmultiplikationsoperator (nützlich, um über Ringe als Modul über sich selbst zu sprechen). Der Hut über Einheitsvektoren oder nur Normalisierungen anderer Vektoren ist andererseits nützlich, um die Anzahl der Symbole klein zu halten und anhand des Namens anzuzeigen, wenn die Dinge verwandt sind. Verwenden Sie keine Pfeile oder Fettschrift, um Vektoren von anderen Dingen zu unterscheiden. Es ist auch normal, wenn jemand dies nicht tut, nur weil er nicht das Bedürfnis verspürt, die Namen von Vektoren von den Namen von Skalaren zu unterscheiden, oder eine andere Notation gewählt hat, die ausreicht, um Vektoren und Skalare in einer Formel zu unterscheiden, wie z. B. ein dediziertes Symbol und Reihenfolge der Argumente für den Skalarmultiplikationsoperator (nützlich, um über Ringe als Modul über sich selbst zu sprechen). Der Hut über Einheitsvektoren oder nur Normalisierungen anderer Vektoren ist andererseits nützlich, um die Anzahl der Symbole klein zu halten und anhand des Namens anzuzeigen, wenn die Dinge verwandt sind. oder Sie haben eine andere Notation gewählt, die ausreicht, um Vektoren und Skalare in einer Formel zu unterscheiden, wie z. B. ein dediziertes Symbol und eine Reihenfolge der Argumente für den Skalarmultiplikationsoperator (nützlich, um über Ringe als Modul über sich selbst zu sprechen). Der Hut über Einheitsvektoren oder nur Normalisierungen anderer Vektoren ist andererseits nützlich, um die Anzahl der Symbole klein zu halten und anhand des Namens anzuzeigen, wenn die Dinge verwandt sind. oder Sie haben eine andere Notation gewählt, die ausreicht, um Vektoren und Skalare in einer Formel zu unterscheiden, wie z. B. ein dediziertes Symbol und eine Reihenfolge der Argumente für den Skalarmultiplikationsoperator (nützlich, um über Ringe als Modul über sich selbst zu sprechen). Der Hut über Einheitsvektoren oder nur Normalisierungen anderer Vektoren ist andererseits nützlich, um die Anzahl der Symbole klein zu halten und anhand des Namens anzuzeigen, wenn die Dinge verwandt sind.