Was ist konvektive Beschleunigung der Strömungsgeschwindigkeit?

Lassen$\mathbf v(\mathbf x,t)$bezeichnen die Geschwindigkeit der Flüssigkeit am Ort$\mathbf x$und Zeit$t$.

Angenommen, wir stellen uns vor, auf einem Weg zu reisen$\mathbf x(t)$durch die Flüssigkeit, dann können wir uns fragen

Wenn wir entlang der Kurve fahren$\mathbf x(t)$durch die Flüssigkeit, wie groß wird dann die Änderungsrate der Strömungsgeschwindigkeit jedes Punktes in der Flüssigkeit sein, den wir passieren, wenn wir uns durch die Flüssigkeit bewegen?

Die Antwort wird als konvektive Beschleunigung in Bezug auf die Kurve bezeichnet$\mathbf x(t)$und erhält man mit der Kettenregel wie folgt:

$$\mathbf a_{\mathrm{cv}, \mathbf x}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf v (\mathbf x(t),t) = \dot{\mathbf x}(t)\cdot \nabla\mathbf v(\mathbf x(t),t) + \frac{\partial \mathbf v}{\partial t}(\mathbf x(t), t)$$

Nun stell dir das vor$\mathbf x(t)$stellt eine Kurve dar, die sich mit der Flüssigkeit selbst bewegt

$$\dot{\mathbf x}(t) = \mathbf v(\mathbf x(t), t)$$ dann erhalten wir den folgenden Ausdruck für die konvektive Beschleunigung: $$\mathbf a_{\mathrm{cv}}(t) = \mathbf v(\mathbf x(t),t)\cdot \nabla\mathbf v(\mathbf x(t),t) + \frac{\partial \mathbf v}{\partial t}(\mathbf x(t), t)$$ Was normalerweise abgekürzt wird als $$\mathbf a_\mathrm{cv}(t) = \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v + \frac{\partial\mathbf v}{\partial t}$$ Was Ihre zweite Frage betrifft, gibt es keinen mathematischen Unterschied zwischen den Ergebnissen von $(\mathbf v\cdot\nabla) \mathbf v$Und $\mathbf v\cdot(\nabla \mathbf v)$, aber der Unterschied in der Reihenfolge der Operationen bedeutet hier, dass verschiedene Unterteile der Ausdrücke unterschiedliche Dinge bedeuten.

Im ersten Fall bilden wir zunächst den Differentialoperator

$$\mathbf v\cdot\nabla = \sum_i v_i\frac{\partial}{\partial x_i}$$ und dann wenden wir diesen Operator auf jede Komponente des Geschwindigkeitsvektorfelds an, um zu erhalten $$(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v = \left(\sum_i v_i\frac{\partial v_1}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_2}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_3}{\partial x_i}\right)$$ Im zweiten Fall erhalten wir zunächst komponentenweise Gradienten $$\nabla\mathbf v = (\nabla v_1, \nabla v_2, \nabla v_3)$$ und dann punktieren wir das Ergebnis mit $\mathbf v$erhalten $$\begin{align} \mathbf v\cdot(\nabla\mathbf v) &= (\mathbf v\cdot\nabla v_1, \mathbf v\cdot\nabla v_2, \mathbf v\cdot\nabla v_3) \\ &= \left(\sum_i v_i\frac{\partial v_1}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_2}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_3}{\partial x_i}\right) \end{align}$$ das ist das gleiche Ergebnis wie im ersten Fall.

Die Antwort von Joshphysics ist irreführend. v⋅∇v+∂v/∂t ist die Gesamtbeschleunigung. v⋅∇v ist der konvektive Anteil.

Konvektionsbeschleunigung = v⋅∇v

Lokale/instationäre Beschleunigung = ∂v/∂t

Gesamt-/Materialbeschleunigung = v⋅∇v + ∂v/∂t