Es ist im Grunde ein Maß für die Quantität einiger Korrelationen, die für einen trennbaren Zustand nicht verschwindet. Es wurde von Ollivier und Zurek ( PRL / arXiv ) eingeführt. Es ist die Differenz zwischen zwei verschiedenen Verallgemeinerungen der klassischen (Shannon) bedingten Entropie auf die Quantenwelt und ist 0 für einen reinen zweigeteilten trennbaren Zustand. Es hat sich gezeigt, dass das Maß an Verschränkung bei der Aufgabe der Zustandsverschmelzung ( PRA / arXiv und PRA / arXiv ) benötigt wird.

Definition

( PRL / arXiv ) Klassisch die bedingte Entropie$H(A|B)$ist ein Maß für die Unsicherheit, die man bezüglich der Variablen hat$A$Sobald wir die Variable kennen$B$. Natürlich ist die Definition von "wissen"$B$Problematisch wird es, wenn$B$ist Quanten.

1. Klassisch kann man definieren$H(A|B)$als Durchschnitt$H(A|B)=\sum_b {\mathcal P}(B=b)H(A|B=b)$, jede$H(A|B=b)$ist die Entropie von$A$vorausgesetzt, die Zufallsvariable hat den Wert$b$. Wenn man dies auf die Quantenwelt verallgemeinert, wird die$B=b$Teil impliziert eine Quantenmessung (ein POVM), die spezifiziert werden sollte. Eine natürliche Wahl ist die "beste" Messung, diejenige, die die Entropie minimiert. Der Shannon$H$Entropie wird durch die Von-Neumann-Entropie ersetzt, und wir definieren$S(A|B_c)=\min_{\text{POVM}} \sum_{b}\mathcal{P}(\text{POVM applied to B gives } b) S(A|\text{POVM applied to B gives }b)$.

2. Die bisherige Definition führt klassisch zu einer Umdefinition der bedingten Entropie als Entropiedifferenz:$H(A|B)=H(A,B)-H(B)$, was immer positiv ist. Seine Quantenversion,$S(A|B)=S(AB)-S(B)$kann negativ sein (im Gegensatz zu$S(A|B_c)$). Seine Negativität ist eine hinreichende Bedingung für Verstrickung.

Der Zwiespalt ist definiert als$S(A|B_v)-S(A|B)$und ist immer positiv. Sie können es vielleicht als das Ausmaß der Korrelation zwischen sehen$A$Und$B$die durch eine klassische Messung von zerstört wird$B$.

Link mit Zustandsverschmelzung

( PRA / arXiv und PRA / arXiv )

Das Zustandsverschmelzungsprimitiv ist das folgende. Angenommen, Alice, Bob und Charly teilen sich einen rein verschränkten 3-Parteien-Zustand. Alice möchte ihren Teil an Bob senden, ohne die Quantenkorrelationen zwischen ihnen zu zerstören$AB$Und$C$. Im Grunde muss sie sich teleportieren$A$zu Bob, und die minimale Menge an Verschränkung, die Alice und Bob benötigen, um diese Aufgabe auszuführen, wird durch die Quantendissonanz gegeben.

Man kann es so ausdrücken, dass Quantum Discord „Korrelationen“ quantifiziert, die nicht direkt in Korrelationen zwischen Messergebnissen umgesetzt werden können. Das Vorhandensein von Zwietracht in einem gegebenen zweiteiligen Quantenzustand signalisiert, dass die beiden Parteien stärker "miteinander verbunden" sind, als es durch die Korrelationen in den Ergebnissen einer beliebigen Auswahl lokaler Messungen beobachtbar wäre. Ein anderer Standpunkt ist, dass Quantendissonanz mit Situationen zusammenhängt, in denen die Messung eines Teils des Systems zwangsläufig die andere Seite stört.

Bei einem zweiteiligen Zustand kann man nach der maximalen Menge an Korrelationen fragen, die in lokalen Messergebnissen beobachtbar sind. Nennen Sie dies die zugänglichen Informationen , die somit definiert werden können als

$$J(\rho) \equiv \max_{\Pi^A} J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i), \qquad J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)\equiv S(\operatorname{Tr}_A(\rho)) - S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i),\\ S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i) \equiv \sum_i p_i S(\rho(B|A=i)).$$ Das sieht fies aus, also packen wir es aus:

1. $J(\rho)$ist die zugängliche Information, berechnet bzgl. Messungen von$A$. Man könnte auch die analoge Definition als betrachten$B$wird stattdessen gemessen und möglicherweise unterschiedliche Zahlen erhalten. Das bedeutet, dass man vorsichtig sein muss, in welche Richtung Discord/zugängliche Informationen definiert werden.
2. Mit$J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)$Ich meine die zugänglichen Informationen in Bezug auf eine Wahl der Messung an$A$. Hier,$\{\Pi_i^A\}_i$ist eine projektive Messung an$A$. Die zugänglichen Informationen werden erhalten, indem die Messauswahl gefunden wird$\{\Pi^A_i\}_i$das maximiert$J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)$.
3. Sobald wir eine Messauswahl festgelegt haben$\{\Pi^A_i\}$, verwenden wir eine Definition der gegenseitigen Information, die aus der klassischen Formel stammt$I(X:Y)=H(A)-H(A|B)$. Die bedingte klassische Entropie$H(A|B)$wird zur bedingten Entropie$S(\rho;B|\{\Pi_i^A\})$, was gleich der mittleren ( von Neumann ) Entropie ist$B$, bedingt zu jedem Messergebnis von$\rho$An$A$.
4. Genauer gesagt lautet die bedingte Entropie $$S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i) \equiv \sum_i p_i S(\rho(B|A=i)),$$ Wo $$p_i \equiv \operatorname{Tr}[(\Pi^A_i\otimes I_B)\rho], \qquad \rho(B|A=i) \equiv\frac{1}{p_i} \operatorname{Tr}_A[(\Pi^A_i\otimes I_B)\rho].$$ In Worten,$p_i$ist die Wahrscheinlichkeit von$A$das Ergebnis zu erhalten$i$(wieder bei der Verwendung der Messung$\{\Pi_i^A\}$, während$\rho(B|A=i)$ist der Restzustand an$B$erhalten wann$A$erhält das Ergebnis$i$(und erzählt$B$darüber).

Der Quantendissonanz $\delta$ist der Teil der gegenseitigen Quanteninformation $I(\rho)\equiv S(\rho_A)+S(\rho_B)-S(\rho)$, die nicht als zugängliche gegenseitige Informationen realisiert werden, dh

$$I(\rho) = J(\rho) + \delta(\rho).$$ Auch hier muss man vorsichtig sein, welches System gemessen wird, daher sollte die Definition genauer angegeben werden, indem diese Informationen spezifiziert werden.

Eine schöne Charakterisierung

Ein Zweiparteienstaat$\rho$hat null disharmonie bzgl. messungen auf$A$ genau dann, wenn es sich um einen klassisch-quantischen Zustand handelt, dh er eine Zerlegung der Form zulässt

$$\rho = \sum_i p_i \, |i\rangle\!\langle i|\otimes \rho_i,$$ für eine orthonormale Basis$\{|i\rangle\}$und Staatenensemble$\rho_i$.

Ein paar Beispiele

Für einen beliebigen reinen Zustand$\rho$, hat man$I(\rho)=2J(\rho)$. Insbesondere ist der Zwiespalt symmetrisch und entspricht den zugänglichen Informationen. Zum Beispiel hat ein maximal verschränkter Zwei-Qubit-Zustand$I(\rho)=2$Und$J(\rho)=\delta(\rho)=1$.

Betrachten Sie den Zwei-Qubit-Zustand

$$\rho = \frac12 ( \mathbb{P}_0\otimes \mathbb{P}_0 + \mathbb{P}_1\otimes \mathbb{P}_+), \qquad \mathbb{P}_v\equiv |v\rangle\!\langle v|.$$ Dies setzt klassische Quantenmessungen fort$A$, hat also null Diskordanz von links nach rechts. Aber es hat auch Diskordanz ungleich Null bei Messungen an$B$. Beachten Sie, dass dies auch ein trennbarer Zustand ist, der zeigt, dass Zwietracht eine Form der Nichtklassizität ist, die sich von Verstrickung unterscheidet.

Als Beispiel für einen trennbaren disharmonischen Zwei-Qubit-Zustand, der kein klassisches Quantum ist, kann man das Standardbeispiel betrachten, das in der Originalarbeit von Ollivier und Zurek angegeben ist: ein Werner-Zustand der Form

$$\rho_z = \frac{1-z}{4}I +z |\Phi^+\rangle\!\langle\Phi^+| =\frac14\begin{pmatrix}1+z & 0&0& 2z \\ 0& 1-z & 0 & 0 \\ 0&0&1-z&0 \\ 2z & 0 & 0 & 1+z\end{pmatrix}, \\ |\Phi^+\rangle\equiv\frac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle),$$ was trennbar ist für$z\le 1/3$hat aber in beiden Richtungen eine Diskordanz ungleich Null.