Anwenden einer Drehung auf einen verschränkten Zustand

Question

Anwenden einer Drehung auf einen verschränkten Zustand

doncarlos31415

Ich möchte ein Experiment verstehen, habe aber Probleme mit der (grundlegenden) mathematischen Notation.

Im Experiment werden zwei Ionen verschränkt und in zwei Vertiefungen getrennt $A$ Und $B$ . Der Spinzustand der Ionen ist somit

\frac{1}{\sqrt{2}} [| ↑ ⟩_{A} | ↓ ⟩_{B} + | ↓ ⟩_{A} | ↑ ⟩_{B}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right]$ Da sie als nächstes einen Seitenbandübergang betreiben wollen, schließen sie den Bewegungszustand der Ionen ein

\frac{1}{\sqrt{2}} [| ↑ ⟩_{A} | ↓ ⟩_{B} + | ↓ ⟩_{A} | ↑ ⟩_{B}] | 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B}

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B +|\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right] |0\rangle_A |0\rangle_B$ Der Seitenbandübergang wird nur auf das Ion in Well angewendet

A

$A$ und sie beschreiben es als Rotation

R (θ, ϕ) = (\begin{array}{r} cos (θ / 2) & - ich e^{- ich ϕ} Sünde (θ / 2) \\ - ich e^{ich ϕ} Sünde (θ / 2) & cos (θ / 2) \end{array})

$R(\theta,\phi)=\left(\begin{array}{r} \text {cos}(\theta/2) & -ie^{-i\phi}\text{sin}(\theta/2)\\ -ie^{i\phi}\text{sin}(\theta/2) & \text{cos}(\theta/2)\\ \end{array}\right)$ in der Grundlage

(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}) = | ↑ ⟩ | 1 ⟩

$\left(\begin{array}{r} 1\\0 \end{array}\right)=|\uparrow\rangle|1\rangle$ ,

(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array}) = | ↓ ⟩ | 0 ⟩

$\left(\begin{array}{r} 0\\1 \end{array}\right)=|\downarrow\rangle|0\rangle$ .

Nach dem Anwenden des Seitenbandübergangs $R_A(\pi,0)$ Sie erhalten den Zustand:

| F ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | ↑ ⟩_{A} [| ↓ ⟩_{B} | 0 ⟩_{A} - ich | ↑ ⟩_{B} | 1 ⟩_{A}] | 0 ⟩_{B}

$|f\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle_A \left[|\downarrow\rangle_B|0\rangle_A - i|\uparrow\rangle_B |1\rangle_A \right]|0\rangle_B$

Ich bin neu in der Braket-Notation und wenn ich versuche, dieselbe Berechnung durchzuführen, erhalte ich einen anderen Endzustand. Kann bitte jemand aufschreiben, wie man sich bewirbt $R_A(\pi,0)$ Ergebnisse im Endzustand $|f\rangle$ ? Vielen Dank!

Antworten (1)

Anwenden einer Drehung auf einen verschränkten Zustand

vin92 · Answer 1

Ich denke, die Frage wird viel klarer, wenn Sie einige der verbleibenden Basisvektoren angeben, zum Beispiel die $\vert{\uparrow 0}\rangle$ . Ich empfehle, den Zustand wie folgt zu schreiben.

| ich ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑ 0 ⟩_{A} | ↓ 0 ⟩_{B} + | ↓ 0 ⟩_{A} | ↑ 0 ⟩_{B})

$\vert{i}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vert{\uparrow 0}\rangle_A\vert{\downarrow 0}\rangle_B+\vert{\downarrow 0}\rangle_A\vert{\uparrow 0}\rangle_B)$

Beachten Sie, dass es in einem Hilbert-Raum lebt, der das direkte Produkt von zwei (oder mehr) Hilbert-Räumen ist, dh

H = H_{A} \otimes H_{B}

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$

Dann sollten Sie den Rotationsoperator als verstehen

R (θ, ϕ) \equiv R_{A} (θ, ϕ) \otimes 1_{B}

$R(\theta,\phi)\equiv R_A(\theta,\phi)\otimes \mathbb{1}_B$ Wo

1_{B}

$\mathbb{1}_B$ ist der Identitätsoperator, so dass

R (θ, ϕ)

$R(\theta,\phi)$ wirkt nur auf

H_{A}

$\mathcal{H}_A$ .

Somit :

R (θ, ϕ) | ich ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (R_{A} (θ, ϕ) | ↑ 0 ⟩_{A} | ↓ 0 ⟩_{B} + R_{A} (θ, ϕ) | ↓ 0 ⟩_{A} | ↑ 0 ⟩_{B}) = | F ⟩

$R(\theta,\phi)\vert{i}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(R_A(\theta,\phi)\vert{\uparrow 0}\rangle_A\vert{\downarrow 0}\rangle_B+R_A(\theta,\phi)\vert{\downarrow 0}\rangle_A\vert{\uparrow 0}\rangle_B)=\vert{f}\rangle$

Dann sollten Sie das durch direkte Berechnung überprüfen

R_{A} (π, 0) | ↑ 0 ⟩_{A} = | ↑ 0 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\uparrow 0}\rangle_A=\vert{\uparrow 0}\rangle_A$

R_{A} (π, 0) | ↓ 0 ⟩_{A} = - ich | ↑ 1 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\downarrow 0}\rangle_A=-i\vert{\uparrow 1}\rangle_A$

Für die zweite Zeile habe ich überprüft und es gilt, aber Sie sollten die erste Zeile überprüfen.

BEARBEITEN: Nachdem ich den Kommentar gelesen und mir das Problem genauer angesehen hatte, wurde mir klar, dass hier noch ein bisschen mehr steckt.

1) Beachten Sie das $\mathcal{H}_{A}=\mathcal{H}_{s=1/2}\otimes \mathcal{H}_{\text{Fock Space}}$ und dasselbe für $\mathcal{H}_B$ . Die Matrixdarstellungen dieses Operators sind in der Basis unendlichdimensionale Matrizen $\big\lbrace \vert \uparrow \rangle,\vert \downarrow \rangle \big \rbrace \otimes \big\lbrace \vert 0 \rangle,\vert 1 \rangle,\ldots \big \rbrace$ .

2) Der Betreiber $R_A(\pi,0)$ rotiert die Basisvektoren.

R_{A} (π, 0) | ↓ 0 ⟩_{A} = - ich | ↑ 1 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\downarrow 0}\rangle_A=-i\vert{\uparrow 1}\rangle_A$

R_{A} (π, 0) | ↑ 1 ⟩_{A} = - ich | ↓ 0 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\uparrow 1}\rangle_A=-i\vert{\downarrow 0}\rangle_A$

Aber beachten Sie, dass es den Basisvektor nicht berührt $\vert \uparrow 0 \rangle$ ! Um es zu sehen, betrachten Sie den (endlich dimensionalen) Unterraum von $\mathcal{H}_A$ aufgespannt durch die Basisvektoren:

{| ↑ ⟩, | ↓ ⟩} \otimes {| 0 ⟩, | 1 ⟩} = {| ↑ 0 ⟩, | ↑ 1 ⟩, | ↓ 0 ⟩, | ↓ 1 ⟩} .

$\big\lbrace \vert \uparrow \rangle,\vert \downarrow \rangle \big \rbrace \otimes \big\lbrace \vert 0 \rangle,\vert 1 \rangle \big \rbrace=\big\lbrace \vert \uparrow 0 \rangle,\vert \uparrow 1 \rangle, \vert \downarrow 0 \rangle,\vert \downarrow 1 \rangle \big \rbrace.$ Die Matrixdarstellung von

R_{A} (π, 0)

$R_A(\pi,0)$ in diesem Unterraum ist:

R_{A} (π, 0) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - ich & 0 \\ 0 & - ich & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

$\begin{equation} R_A(\pi,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . \end{equation}$ Und die Basisvektoren können genommen werden als

| ↑ 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ↑ 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ 0 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

$\vert \uparrow 0\rangle=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \uparrow 1\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \downarrow 0\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \downarrow 1\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.$

Damit alle Eigenschaften gelten. Ich hoffe, es klärt auch die Frage im Kommentar! C:

Vielen Dank! Das macht das generelle Vorgehen schon deutlich übersichtlicher. Ich habe versucht, einen Vektorausdruck für zu finden $|\uparrow 0 \rangle_A$ durch Lösen $R_A(\pi,0)|\uparrow 0 \rangle_A=|\uparrow 0 \rangle_A$ . Die einzige Lösung ist jedoch die triviale Lösung. Tatsächlich bin ich verwirrt, warum die Autoren nur angegeben haben $(10)=|↑⟩|1⟩$ , $(01)=|↓⟩|0⟩$ obwohl wir es mit Tensorzuständen zu tun haben und somit eine vollständige Basis wäre $(10) \otimes(10)$ , $(10) \otimes(01)$ , $(01) \otimes(10)$ , $(01) \otimes(01)$ . Aber wie ist dann die Drehung $R_A(\pi,0)$ auf diesen Basisvektoren definiert?
Ich habe meine Antwort bearbeitet, weil ich Ihre Frage in den Kommentaren nicht beantworten konnte! Beifall! Ich hoffe es hilft!!

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doncarlos31415

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vin92

doncarlos31415

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