Was ist, wenn die für eine Kreisbewegung bereitgestellte Nettokraft größer ist als die erforderliche Zentripetalkraft?

Lassen Sie uns das genauer sagen:

Newtons zweites Gesetz für die planare Bewegung in Polarkoordinaten ist gegeben durch

$$\mathbf F=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\hat\theta$$

Wo$r$ist die radiale Koordinate und$\theta$ist der Winkel von der$x$-Achse.

Wenden wir nur eine radial nach innen gerichtete Kraft an$\mathbf F=-F\,\hat r$, dann haben wir am Ende zwei gekoppelte Differentialgleichungen

$$\ddot r=r\dot\theta^2-\frac Fm$$ $$\ddot\theta=-\frac{2\dot r\dot\theta}{r}$$

Um dies zu überprüfen, lösen wir zuerst dieses Problem für eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung. Für Anfangsbedingungen werden wir verwenden (ich werde Einheiten auf meinen Zahlen weglassen)$r(0)=10$,$\dot r(0)=0$,$\theta(0)=0$,$\dot\theta(0)=1$. Legen wir fest$m=1$. Für eine gleichmäßige Kreisbewegung bedeutet dies, dass wir wollen$F=mr\dot\theta^2=1\cdot10\cdot1^2=10$. Und natürlich erhalten wir eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung, wie im xy-Diagramm unten gezeigt

Was nun also, wenn wir unsere gleichen Anfangsbedingungen beibehalten, die wir bei unserer gleichförmigen Kreisbewegung hatten, und wir plötzlich unsere Kraftgröße verdoppeln$10$Zu$20$? Nun, im Gegensatz zu anderen (jetzt gelöschten) Antworten bekommen wir keine Spirale zum Ursprung. Wir bekommen tatsächlich Schwingungen hinein$r$, Wie nachfolgend dargestellt:

Das macht Sinn. Aus einer fiktiven Kraftperspektive nimmt die auf das Objekt wirkende Zentrifugalkraft zu, wenn es sich radial nach innen bewegt, sodass es zu einem Punkt kommt, an dem das Objekt nach außen und nicht nach innen gezogen wird. Dann bewegt sich das Objekt schließlich heraus, dann wieder hinein usw.

Wenn wir zum Zentrum gelangen wollen, versuchen wir, die Kraft im Laufe der Zeit zu erhöhen. Lassen Sie uns als ersten Durchgang die Kraftgröße zu einer linear ansteigenden Funktion der Zeit machen, die bei unserer gleichmäßigen kreisförmigen Bewegungskraft beginnt. Zum Beispiel, wenn$F=10\cdot(1+10\cdot t)$wir enden mit dieser Flugbahn:

wo die Flugbahn dem Ursprung so nahe kommen kann, wie Sie möchten, wenn die Kraft zunimmt. Es wird jedoch immer noch Schwingungen geben$r$. Mit dieser Art von Kraft erhalten Sie keine perfekte Spirale.

Um mehr Einblick zu gewinnen, lassen Sie uns zurückentwickeln, wie man eine Spirale erhält. Betrachten wir als einfachen ersten Schritt eine Spirale, die mit konstanter linearer Radialgeschwindigkeit und konstanter Winkelgeschwindigkeit nach innen geht. Dies lässt sich leicht durch die folgenden Gleichungen beschreiben (beachten Sie, dass ich die Variable verwende$v$hier als "innere Geschwindigkeit", nicht im üblichen Sinne wie$v=r\omega$)

$$r(t)=r_0-vt$$ $$\theta(t)=\omega t$$

Wir wissen also, dass die auf unser Objekt wirkende Kraft gegeben ist durch

$$\mathbf F=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\hat\theta=m\left(0-(r_0-vt)\omega^2\right)\hat r+m\left(0-2v\omega\right)\hat\theta$$

Wir wollen also eine Truppe

$$\mathbf F=-m\omega^2(r_0-vt)\,\hat r-2mv\omega\,\hat\theta$$

Dies kann also nicht mit einer Zeichenfolge erfolgen, da$F_\theta\neq0$.

Wir sind aber in der Nähe! Realistischer, wenn wir tatsächlich mit der Hand an einer Schnur ziehen, dann kontrollieren wir wahrscheinlich direkt$r(t)$dabei haben$F_\theta=0$. Lassen Sie uns also die beiden oben behandelten Klassen von Szenarien kombinieren und sagen$\mathbf F=-F\hat r$für unsere Zeichenfolge und Einschränkung$r(t)=r_0-vt$zu versuchen und eine innere Spirale zu bekommen. Dann werden unsere Bewegungsgleichungen

$$0=\dot\theta^2(r_0-vt)-\frac Fm$$ $$\ddot\theta=\frac{2v\dot\theta}{r_0-vt}$$

Die zweite Differentialgleichung wollen wir bestimmen$\dot\theta(t)$as (beachten Sie, wie der Drehimpuls erhalten bleibt, was eine nette Überprüfung der Gesundheit ist)

$$\dot\theta(t)=\frac{r_0^2\dot\theta(0)}{(r_0-vt)^2}$$

Und so wird die Kraft, die wir brauchen, durch gegeben

$$F=m\dot\theta(t)^2(r_0-vt)=\frac{mr_0^4\dot\theta(0)^2}{(r_0-vt)^3}$$

Wir bekommen eine Zentripetalkraft, die an Größe zunimmt, was wir wollten. Aber beachten Sie, wie es jetzt so zunimmt$1/(r_0-vt)^3$anstatt nur linear in Bezug auf$t$. Beachten Sie, dass wir jetzt nur zuschauen können$t<r_0/v$seit der Überfahrt$t=r_0/v$würde eine unendliche Kraft machen.

Lassen Sie uns abschließend Ihre Frage beantworten

Wird ein Objekt linear zur Mitte gezogen, wenn die für eine Kreisbewegung bereitgestellte Nettokraft größer ist als die erforderliche Zentripetalkraft? Und warum?

Angenommen, Sie meinen mit "linear" eine konstante Radialgeschwindigkeit, dann lautet die Antwort ja, solange Sie die Kraft genau richtig erhöhen. Das hat eine einfache Erklärung in dem Rahmen, der sich mit dem Objekt dreht: Sie liefern genau die richtige Menge an Kraft, um die Zentrifugalkraft zu jedem Zeitpunkt auszugleichen.

Wenn er stärker zur Mitte hin gezogen wird, kann er sich nicht linear zur Mitte hin bewegen .

Es hat bereits eine Tangentialgeschwindigkeit (sonst gäbe es keine Kreisbewegung). Um sich linear in Richtung Zentrum zu bewegen, muss die Tangentialgeschwindigkeit Null sein. Wenn Sie direkt nach innen ziehen, wirkt keine Kraft tangential, also nichts, was die Tangentialgeschwindigkeit bremst.