Was lehrte GH Hardy Ramanujan?

Für Ramanujans Hintergrund siehe Wie lernte Ramanujan, Mathematik zu tun? Laut Hardy selbst hat er ihm keine Themen beigebracht, nur die Idee und vielleicht einige Beweismethoden, siehe seinen Vortrag Indian Mathematician Ramanujan . Ramanujan hat sporadische Bruchstücke moderner Mathematik aus verschiedenen Quellen aufgeschnappt, bei denen Hardy sich nicht so sicher ist, außer Carr's Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics . Was er mit großen Lücken über klassische und analytische Zahlentheorie, elliptische Funktionen, asymptotische Analysis, hypergeometrische Reihen und Kettenbrüche lernte, war Selbstlernen, das Hardy sich selbst nicht zutraut:

Er hatte ein unmögliches Handicap mit sich herumgetragen, ein armer und einsamer Hindu, der sein Gehirn gegen die angesammelte Weisheit Europas stellte ... Es war unmöglich, ihn systematisch zu unterrichten, aber er nahm allmählich neue Sichtweisen auf. Insbesondere lernte er, was mit Beweis gemeint war, und seine späteren Arbeiten, obwohl sie in gewisser Weise so seltsam und individuell wie immer waren, lasen sich wie die Werke eines gut informierten Mathematikers. Seine Methoden und seine Waffen blieben jedoch im Wesentlichen dieselben. Man hätte meinen können, dass ein solcher Formalist wie Ramanujan in Cauchys Theorem geschwelgt hätte, aber er hat ihn praktisch nie verwendet, und das erstaunlichste Zeugnis seines formalen Genies ist, dass er nie das geringste Bedürfnis danach zu verspüren schien.

[...] Zum Beispiel hatte er in der analytischen Zahlentheorie gewissermaßen viel entdeckt, aber er war weit davon entfernt, die wirklichen Schwierigkeiten des Fachs zu verstehen. Und es gibt einige seiner Arbeiten, hauptsächlich in der Theorie der elliptischen Funktionen, über die immer noch ein Rätsel besteht; Es ist nach all der Arbeit von Watson und Mordell nicht möglich, die Grenze zu ziehen zwischen dem, was er vielleicht irgendwie aufgeschnappt hat, und dem, was er für sich selbst gefunden haben muss ... Hier muss ich zugeben, dass ich schuld bin, da es eine gibt eine ganze Menge, die wir jetzt gerne wissen würden und die ich ganz leicht hätte entdecken können ... Ich habe ihn nicht einmal gefragt, ob er (wie ich glaube, er hat es getan haben müssen) die elliptischen Funktionen von Cayley oder Greenhill gesehen hat.

[...] Ramanujans Theorie der Primzahlen wurde durch seine Unkenntnis der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen beeinträchtigt. Es war (sozusagen) die Theorie, wenn die Zeta-Funktion keine komplexen Nullstellen hätte. Seine Methode beruhte auf einer umfassenden Verwendung divergierender Reihen ... Dass seine Beweise ungültig gewesen sein sollten, war nur zu erwarten. Aber die Fehler gingen tiefer und viele der tatsächlichen Ergebnisse waren falsch. Er hatte die dominierenden Terme der klassischen Formeln erhalten, wenn auch durch ungültige Methoden; aber keiner von ihnen ist so nahe beieinander, wie er annahm.

[...] Ich glaube nicht, dass Ramanujan viel in der klassischen Zahlentheorie entdeckt hat oder dass er jemals viel gewusst hat. Von der allgemeinen Theorie der arithmetischen Formen hatte er zu keiner Zeit Kenntnis. Ich bezweifle, dass er das Gesetz der quadratischen Reziprozität kannte, bevor er hierher kam. Diophantische Gleichungen hätten zu ihm passen sollen, aber er tat vergleichsweise wenig damit, und was er tat, war nicht sein Bestes.

[...] In der Algebra befasste sich Ramanujans Hauptwerk mit hypergeometrischen Reihen und Kettenbrüchen (ich verwende das Wort Algebra natürlich in seinem altmodischen Sinne). Diese Themen passten genau zu ihm, und hier war er zweifellos einer der großen Meister ... Bezüglich der hypergeometrischen Reihen kann man grob sagen, dass er die in Baileys Traktat dargelegte formale Theorie wiederentdeckte, wie sie bis 1920 bekannt war. Es gibt etwas darüber in Carr und mehr in Chrystals Algebra, und zweifellos hat er davon seinen Anfang genommen.

[...] In der eigentlichen Analyse ist Ramanujans Arbeit zwangsläufig weniger beeindruckend, da er keine Theorie der Funktionen kannte und man ohne sie keine echte Analyse durchführen kann, und da die formale Seite der Integralrechnung alles war, von der er lernen konnte Carr oder jedes andere Buch, wurde so oft und so intensiv bearbeitet. Dennoch entdeckte Ramanujan eine erstaunliche Anzahl der schönsten analytischen Identitäten wieder.

Die oben erwähnte Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics von Carr hatte einen großen Einfluss auf Ramanujans frühes Leben:

Es war ein Buch ganz anderer Art, Carr's Synopsis, das als erstes Ramanujans volle Kraft erweckte ... Das Buch ist in keiner Weise großartig, aber Ramanujan hat es berühmt gemacht, und es besteht kein Zweifel, dass es ihn zutiefst beeinflusst hat und dass seine Bekanntschaft damit den eigentlichen Ausgangspunkt seiner Karriere markierte ... Carr hat Abschnitte zu den offensichtlichen Themen Algebra, Trigonometrie, Analysis und analytische Geometrie, aber einige Abschnitte sind unverhältnismäßig entwickelt, insbesondere die formale Seite der Integralrechnung . Dies scheint Carrs Lieblingsthema gewesen zu sein, und die Behandlung ist sehr umfassend und auf seine Weise definitiv gut. Es gibt keine Theorie der Funktionen ... Was im Hinblick auf Carrs eigenen Geschmack und Ramanujans spätere Arbeit noch überraschender ist, ist, dass es keine elliptischen Funktionen gibt.

Ich würde Hardys Einschätzung nicht trauen; er sagte schließlich:

er hatte ein unmögliches Handicap mit sich herumgetragen, ein armer und einsamer Hindu, der sein Gehirn gegen die angesammelte Weisheit Europas stellte ... Es war unmöglich, ihn systematisch zu unterrichten, aber er nahm allmählich neue Sichtweisen auf.

Angesichts der Tatsache, dass Ramanujan nach eigenem Bekunden Mathematik aus europäischen Lehrbüchern wie Carr's Synopsis gelernt hatte, kann man kaum sagen, dass er „sein Gehirn gegen die angesammelte Weisheit Europas ausspielte“; außerdem zeigte seine Entscheidung, nach Europa zu ziehen, dass er sehr daran interessiert war, sich mit der europäischen Mathematik zu beschäftigen. Ich würde sagen, als er nach Europa zog, war er bereits ein vollwertiger Mathematiker mit eigenen Vorstellungen darüber, wie man Mathematik macht, und was noch wichtiger ist – was ihn interessierte.

Was lehrte GH Hardy Ramanujan?

Sehr wenig, was Hardy Ramanujan gab, war der Eintritt in das mathematische Milieu, das zu dieser Zeit das Wichtigste in Ramanujans mathematischer Karriere war.