Was liegt zwischen „perfekt glatt“ und „perfekt rau“?

Bei elastischen Kollisionen von Kugeln gibt es zwei Annäherungen, die gemacht werden können: Entweder sind sie perfekt glatt und Sie ignorieren die Rotationskomponente, oder sie sind perfekt rau und die Rotation ist so, dass kein Rutschen auftritt.

Stellen Sie sich die Situation vor, bei a mit einem Ball gegen eine Wand zu schlagen 60 ∘ Winkel, nicht rotierend. Seine normale Geschwindigkeitskomponente wird sich umkehren, egal was passiert. Seine Tangentengeschwindigkeit bleibt gleich, wenn er vollkommen glatt ist, und nimmt ab, so dass der Kontaktpunkt zum Zeitpunkt der Kollision im Ruhezustand ist, wenn er vollkommen rau ist (wodurch der Ball bei mehr als 0 austritt). 60 ∘ von der Wand).

Wenn der Ball keines dieser Extreme ist, was ist dann ein gutes Modell? Bleibt der Prozentsatz der Geschwindigkeit, der als "Schlupfgeschwindigkeit" bleibt, konstant? Oder wird ein Teil der Energie umgewandelt? Kann eine größere Normalkomponente das Verhalten in Tangentenrichtung ändern?

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Es gibt keine Antwort, die Energie spart. Erstens wissen wir aus der Elastizität, dass die Normalkomponente der Geschwindigkeit konstant bleibt. Wir haben dann zwei Unbekannte: die neue Tangentengeschwindigkeit und die neue Rotationsgeschwindigkeit. Die Erhaltung des Drehimpulses um den Kontaktpunkt (alle Kräfte wirken durch ihn, sodass das Nettodrehmoment um ihn herum Null ist) liefert eine Gleichung. Wenn wir die Erhaltung der kinetischen Energie als andere Gleichung verwenden, gibt es zwei Lösungen, eine vollkommen glatte und die andere vollkommen raue, wie hier im Detail demonstriert wird.

Das allgemeinere Modell geht von zwei Restitutionskoeffizienten aus. A COR in tangentialer Richtung C T bestimmt die Rauheit, während ein COR in der normalen Richtung liegt C N bestimmt die Elastizität einer Kollision.

Diese Koeffizienten werden unter Verwendung der ursprünglichen und neuen Geschwindigkeiten des Kontaktpunkts definiert. v ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts der Kugel. ω ist seine Rotationsgeschwindigkeit. Werte nach der Kollision werden durch einen Hut dargestellt. Tangentialgeschwindigkeit ist positiv nach rechts, Rotation ist positiv gegen den Uhrzeigersinn, R ist der Radius der Kugel:

C N = v N ^ v N
C T = v T ^ + ω ^ R v T + ω R

C N = − 1 ist ein vollkommen elastischer Stoß, C N = 0 ein vollkommen unelastisches. C T = 1 ist vollkommen glatt, während C T = − 1 ist vollkommen grob.

Die Erhaltung des Drehimpulses diktiert (das Trägheitsmoment des Kugelwesens J M R 2 , J Sein 2 5 für eine volle Kugel, 2 3 für eine hohle, und 1 für einen Hohlzylinder):

J M R 2 ω ^ − M R v T ^ = J M R 2 ω − M R v T

Kombiniert man dies mit der Definition von C T Und C N , die Ergebnisse sind:

ω ^ = v T ( C T − 1 ) + R ω ( C T + J ) R ( J + 1 )
v T ^ = J R ω ( C T − 1 ) + v T ( J C T + 1 ) J + 1
v N ^ = v N C N

Wie hier angemerkt , C T kann für dieselbe Kugel je nach Aufprallwinkel variieren und kann aus dem Reibungskoeffizienten zwischen Kugel und Wand berechnet werden. Das allgemeinere Problem der Kugel-Kugel-Kollisionen wird hier untersucht (etwa ab Seite 15 des PDF).

Was liegt zwischen „perfekt glatt“ und „perfekt rau“?
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