Was passiert in einer Orgelpfeife bei anderen Frequenzen als den Harmonischen?

Nach dem Abklingen der Transienten vibriert die Luft im Rohr immer mit der gleichen Frequenz wie die Antriebsfrequenz, aber die Amplitude ist sehr klein, im Wesentlichen weil Ihr Fahren in einem Moment die Wirkung des Fahrens im nächsten aufhebt. In der Praxis bedeutet das, dass Sie überhaupt nichts hören.

Es ist vergleichbar mit jemandem, der versucht, eine Schaukel zu pumpen, aber seine Beine schneller oder langsamer bewegt, als die Schaukel gehen "will". Alles, was passiert, ist, dass sie unten ein bisschen herumwackeln.

Lassen Sie die Länge des Rohres sein$L$.

Zwei geschlossene Enden : Die Moleküle an den Enden können sich aufgrund der ihnen auferlegten Grenze nicht frei bewegen. Wellen mit Wellenlänge$\lambda = 2L/n$($n$eine gerade ganze Zahl) haben Knoten an den Enden und werden daher in ihrer Ausbreitung nicht durch die Grenze unterbrochen. Andere Wellenlängen verlieren an der Grenze durch molekulare Kollisionen Energie und werden mit der Zeit zerstreut. Nicht harmonische Wellenlängen sterben also einfach aus (ziemlich schnell).

Ein geschlossenes Ende : Der Unterschied in der Umgebung am offenen Ende des Rohrs (innen durch harte Wände in zwei Richtungen begrenzt, außen in allen Richtungen uneingeschränkt) wirkt als eine Art Grenze. Diesmal die Wellenlänge$\lambda = 2L/n$verwendet ungerade ganze Zahlen$n$. Dies liegt daran, dass ein Ende offen ist, sodass am offenen Ende ein Bauch (anstelle eines Knotens) vorhanden ist. Das Verhalten nichtharmonischer Wellen wäre ähnlich dem eines Rohres mit zwei geschlossenen Enden.

Dissipation : Schallwellen in Luft sind Longitudinalwellen (auch Kompressionswellen genannt), die aus der wiederholten Kompression und Expansion der Luftmoleküle bestehen. Das heißt, obwohl die Nettoverschiebung der Luftmoleküle Null ist (sie kehren in ihre Gleichgewichtspositionen zurück, nachdem die Welle vorbei ist), müssen sich die Moleküle bewegen, um die Welle zu übertragen. Eine stehende Welle ist eine Überlagerung von Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, und hat jede halbe Wellenlänge Knoten , an denen die Bewegung der Moleküle in eine Richtung durch die Bewegung in die entgegengesetzte Richtung aufgehoben wird. Mit anderen Worten, die Moleküle an den Knoten bewegen sich nicht.

Wenn eine Welle genau so eine Wellenlänge hat$n$Wellenlängen passen in Ihre Rohrlänge$L$(wie bei harmonischen Wellenlängen) haben Sie einen Knoten an den Enden der Röhre. Das bedeutet, dass sich die Luft an den Rohrenden nicht bewegt und die gesamte Bewegung zwischen den Enden stattfindet. In diesem Fall geht wenig Energie der Welle an die Umgebung verloren.

Wenn eine Welle eine solche Wellenlänge hat, dass mehr oder weniger als$n$Wellenlängen in Ihr Rohr passen (wie es bei nicht harmonischen Wellenlängen der Fall ist), haben Sie am Ende keinen Knoten. Das bedeutet, dass sich die Luftmoleküle am Ende bewegen. Hier gibt es eine Grenze, und die Luftmoleküle kollidieren mit dieser Grenze und übertragen ihr ihre Energie. Auf diese Weise gibt die Welle ihre Energie an die Umgebung ab und stirbt ab.

Hier ist ein idealisiertes mathematisches Modell dafür, wie ein Wellenleiter bestimmte Wellenzahlen auswählen kann $k=\frac{2\pi}{\lambda}$. Betrachten Sie der Einfachheit halber einen periodischen 1D-Wellenleiter der Länge$L$mit einer (komplexen) monochromatischen Welle

$$y(x,t)~=~Ae^{i(kx-\omega t)}\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{inkL}~=~2\pi A e^{i(kx-\omega t)}III(kL),$$ Wo $$III(\theta)~=~\delta(\theta+2\pi \mathbb{Z})$$ ist die Dirac-Kamm /Shah-Funktion. Wir sehen, dass eine Welle iff der Länge erlaubt ist $L$ist ein Vielfaches der Wellenlänge $\lambda$.