Was sind die wahren Frequenzen der Klaviertasten?

Ja, Sie haben Recht, die "wahren" Frequenzen unterscheiden sich von Klavier zu Klavier.

Zusätzlich zu den hier bereits gegebenen Antworten möchte ich weitere Informationen zur Inharmonizität hinzufügen . Der Betrag des Versatzes oder der "gedehnten Stimmung" für die Saiten eines akustischen Klaviers variiert mit der Größe und dem Typ des Klaviers. Anders sieht es bei einem Spinett, Klavier, Stutzflügel, Flügel oder Konzertflügel aus. Es gibt also keine strenge Formel für alle akustischen Klaviere.

Diskussion über gestreckte Stimmung und Inharmonizität bei Wikipedia .

Im Artikel über Piano Tuning bei Wikipedia finden wir dieses Zitat:

Die dazu erforderliche Dehnung [in der Tonhöhe] ist eine Funktion der Saitenskalierung , einer komplexen Bestimmung, die auf der Spannung, Länge und dem Durchmesser der Saite basiert.

Bei den unterschiedlichen Klaviergrößen, die ich oben erwähnt habe, hat jede unterschiedliche Art von Klavier einen anderen Saitensatz mit unterschiedlichen Sätzen von Länge, Dicke der Kernsaite und Dicke der Wicklungen auf den Basssaiten. Dies führt zu unterschiedlichen Spannungen für die Saiten, die verwendet werden, um eine bestimmte Tonhöhe zu erzeugen, zwischen verschiedenen Fabrikaten, Modellen und Größen von Klavieren. Auch dies verdeutlicht, dass es für ein akustisches Klavier keine „Einheitsgröße“ „Liste der wahren Frequenzen“ gibt.

Ein professioneller Klavierstimmer weiß, dass die genaue Stimmung, die erforderlich ist, bei jedem Klavier, mit dem er oder sie arbeitet, unterschiedlich sein wird. Das Stimmen jedes akustischen Klaviers ist ein zeitaufwändiger und interaktiver Prozess und hängt nicht vollständig von einem festen Satz exakter Tonhöhen oder Frequenzen ab.

Die Abbildung im Wikipedia-Artikel sagt Ihnen, was Sie fragen, wenn Sie bereit sind, die Abweichungen zu tabellieren, indem Sie die grüne Linie lesen.

Die vertikale Achse ist die Anzahl der Cents, um die die Tonart von der gleichschwebenden Stimmung weg gestimmt ist, z. B. ist das C zwei Oktaven über A440 (C7) etwa 10 Cents höher, dh die Frequenz ist ein Faktor von 2 ^10/1200 oder der tatsächliche Wert Häufigkeit ist

   f = 440 * 4 * 2 3/12 * 2 10/1200 = 2105,13 Hz

(Anmerkung: ein gleichschwebendes C7 hat 2093 Hz)

Die Faktoren sind:

1. die Stimmreferenz 440 Hz,
2. gehen Sie zwei Oktaven höher, ein Faktor von 4
3. gehen Sie 3 Halbtöne nach oben, ein Faktor von 2 ^3/12
4. Wenden Sie die Stimmkorrektur an, einen Faktor von 2 ^10/12000

Wenn die grüne Linie flach bei Null wäre, wären alle Tasten auf die gleiche Temperatur gestimmt.

Stellen Sie diese Frage, weil Sie einen Synthesizer schreiben? Diese Art von Detail hilft bei der Antwort, die Sie erhalten ...

Wenn Sie an einem einfachen Sample-basierten subtraktiven Synthesizer arbeiten, werden die Anpassungen der Frequenzen bereits von dem Sample-Set, das Sie haben, für Sie erledigt. Wenn Sie also nicht versuchen, eine physikalische Modellierungssynthese durchzuführen, können Sie den Versatz ignorieren.

Die Frage ist eigentlich selbstzerstörerisch. Das Problem ist, dass der Grund, warum ein Klavier überhaupt gestreckt gestimmt wird, Disharmonizität ist, was bedeutet, dass die Sinuswellen, aus denen die verschiedenen Obertöne bestehen, die die Saite selbst durchlaufen, keine einfachen Vielfachen des Grundtons sind.

Infolgedessen ist das zusammengesetzte Signal als Ganzes nicht einmal periodisch, daher ist es etwas irreführend, von seiner "Frequenz" zu sprechen. Natürlich ist die stärkste Komponente die sinusförmige Grundwelle aus der einfachsten Schwingung im Saitenmodus, aber wenn Sie ein abgetastetes Signal mit dieser Frequenz wiederholen, wird die Disharmonie durch Randartefakte ersetzt und die resultierenden Harmonischen werden wackeln.

Falls diese Frage im Zusammenhang mit der Klangsynthese gestellt wurde: Sie benötigen mehrere Oszillatoren pro Taste mit unterschiedlichen Frequenzen, um Disharmonizitäten richtig zu verwalten.

Wenn Sie ein wirklich periodisches Signal mit nur einer einzigen Frequenz für die Synthese erzeugen, ist eine gestreckte Stimmung sinnlos.

Wie die Frage selbst zugibt, gibt es keine "wahre" mathematische Antwort auf die Frage, da die beste Stimmung von Klavier zu Klavier unterschiedlich ist. Aber man kann eine Formel verwenden, die einen quadratischen Term enthält, um eine Annäherung an die Railsback-Kurve zu geben. Es passt daher wahrscheinlich besser zu den meisten Klavieren, als es eine gleichschwebende Stimmung wäre.

Quelle: Originalrecherche. (Ich bin ein Amateurmusiker mit einem Abschluss in Mathematik.) Korrekturen sind willkommen.

• Annahme Nr. 1: Die Oktave um das mittlere C (oder C4) ist ungefähr gleichschwebend.
• Annahme Nr. 2: Aufgrund der Inharmonizität der Saiten sollte jede Oktave über oder unter dem mittleren C schrittweise weiter "gedehnt" werden als die vorhergehende Oktave.

Definieren Sie einen „Streckfaktor“ s in Halbtönen pro Oktave. Dann sollte jede Note n in Halbtönen über dem mittleren C um Halbtöne schärfer gestimmt werden (s/2)(n/12)^2als bei gleichschwebender Stimmung (und jede Note unter dem mittleren C um denselben Betrag flacher).

Für mein Klavier scheint ein Dehnungsfaktor von s = 0,05 Halbtöne (oder 5 Cent) gut zu funktionieren. Mit anderen Worten, die Oktave um C5 wird 5 Cent breiter als die gleichschwebende Stimmung gestimmt, die Oktave um C6 wird 10 Cent breiter gestimmt und so weiter. Unter Verwendung der obigen Formel stellen wir fest, dass jedes C über und unter dem mittleren C wie folgt gestimmt werden sollte:

C5: 2.5 cents sharp (5/2)
C6: 10 cents sharp (5 + 10/2)
C7: 22.5 cents sharp (5 + 10 + 15/2)
C8: 40 cents sharp (5 + 10 + 15 + 20/2)

Wie erhalten wir nun tatsächliche Frequenzen daraus?

Bei einer gleichschwebenden Stimmung ist die Frequenz einer Note n Hzx = C4 * 2^(n/12) . Wenn wir unseren Anpassungsterm hinzufügen, erhalten wir x = C4 * 2^((n + (s/2)(n/12)^2) / 12)Hz. (Noten unter dem mittleren C sollten eher flach als hoch sein, subtrahieren Sie also den Anpassungsterm, anstatt ihn zu addieren.)

Bei Kammerton (A = 440 Hz) hängt die richtige Frequenz für das mittlere C von der Wahl des Dehnungsfaktors s ab . Setze x = 440 Hz und n = 9 Halbtöne in die obige Formel ein und löse dann nach C4 auf. Für s = 0,05 beträgt die korrekte Frequenz 261,41 Hz.

Setzen wir diesen Wert für C4 wieder in die Formel ein, können wir dann berechnen:

C1: 32.25 Hz (flatter than E.T. @ 32.70 Hz)
C2: 64.98 Hz (flatter than E.T. @ 65.41 Hz)
C3: 130.52 Hz (flatter than E.T. @ 130.81 Hz)
C4: 261.41 Hz (flatter than E.T. @ 261.63 Hz)
C5: 523.58 Hz (sharper than E.T. @ 523.25 Hz)
C6: 1051.71 Hz (sharper than E.T. @ 1046.50 Hz)
C7: 2118.66 Hz (sharper than E.T. @ 2093.00 Hz)

Usw.

Nur um auf einen Punkt einzugehen, den ich für wichtig halte, und der Grund, warum ich denke, dass Lernfrequenzen halbwegs nutzlos sind:

Wie Supercat in seinem Kommentar @ Daves Antwort sagte, vibriert jede Saite mit mehreren Frequenzen.
Physikermodus an:
Wenn die Saite aus einem vollkommen elastischen Material wäre (wie sie im Physikunterricht annehmen), würde sie theoretisch mit unendlich vielen Frequenzen schwingen, aber die Stärke jeder Frequenz wird schnell sehr klein, so dass nur eine endliche Menge an Energie beteiligt ist.
Physikermodus aus.

Jetzt kommt das Wichtige: Diese zusätzlichen Frequenzen sind wesentlich für den Klang von Musikinstrumenten. Sie sind im Grunde der Grund, warum Sie einen Unterschied zwischen einer Geige und einem Klavier hören, die beide eine A4 spielen.

Ich würde empfehlen, dass Sie sich eine reine Sinuswelle bei 440 Hz anhören, z. B. hier:

Dieses Diagramm zeigt die Häufigkeit aller Noten:

Als Referenz, 60 Midi-Nummer = mittleres C auf dem Klavier.

Ein Klavier hat separate Saiten für jede Note. Die Tatsache, dass das A anders ist, bedeutet also nicht unbedingt, dass die anderen nicht auf 440 gestimmt sind. Je nachdem, was der Tuner getan hat.

Fragen Sie dann: Wenn ich das gesamte Klavier auf 420 (A) stimmen möchte, wie ändern sich die anderen Frequenzen? In diesem Fall können Sie die Formel wie hier angegeben verwenden:

fn = f0 * (a)n
where
f0 = the frequency of one fixed note which must be defined. A common choice is setting the A above middle C (A4) at f0 = 440 Hz. But in this case it could be 420.
n = the number of half steps away from the fixed note you are. If you are at a higher note, n is positive. If you are on a lower note, n is negative.
fn = the frequency of the note n half steps away.
a = (2)1/12 = the twelth root of 2 = the number which when multiplied by itself 12 times equals 2 = 1.059463094359...

The wavelength of the sound for the notes is found from
Wn = c/fn
where W is the wavelength and c is the speed of sound. The speed of sound depends on temperature, but is approximately 345 m/s at "room temperature." 

Für weitere Details und Verständnis über Musik und Frequenzen schlage ich vor, dass Sie einen Blick in das ausgezeichnete (Open Source) Buch von David J. Benson werfen, das hier erhältlich ist .

Bezüglich:

Vielleicht können Sie mir nur eine allgemeine Vorstellung davon geben, was der Frequenzbereich für jede Taste sein kann?

Ich hoffe, das ist klar. Nehmen Sie einen bestimmten Bereich für A (z. B. 420-460) und Sie können daraus alle Bereiche berechnen. Vielleicht können Sie mir nur eine allgemeine Vorstellung davon geben, was der Frequenzbereich für jede Taste sein kann?