Welche Art von Bahnelementen werden verwendet, um Halo-Bahnen zu beschreiben?

tl;dr:Für ein gegebenes Paar von Körpern in kreisförmigen Umlaufbahnen um ihren Massenmittelpunkt gibt es zwei symmetrische Familien ("nördliche" und "südliche") von richtigen Halo-Umlaufbahnen, die jedem der Lagrange-Punkte L1, L2 und L3 zugeordnet sind. Wir sprechen normalerweise nur von denen mit L1 und L2, weil L3 so weit vom Sekundärkörper entfernt ist (Erde im Fall von Sonne-Erde-Lagrange-Punkten, der Mond im Fall von Erde-Mond). Sie benötigen also drei Parameter; zwei Aufzählungen und ein Fließkommawert. 1) Norden oder Süden, 2) L1, L2 oder L3 zugeordnet und 3) eine Gleitkommazahl, die die Position darstellt, an der die Umlaufbahn zwischen den beiden äußersten Enden der Familie liegt, wo sie entweder endet oder sich teilt. Bisher weiß ich nicht, ob das eine allgemein akzeptierte Parametrierung hat, die immer funktioniert, oder nicht.$C_3$) oder eine gewisse Amplitude oder Entfernung würde in einigen Fällen ohne Mehrdeutigkeiten funktionieren.

Als praktische Antwort könnten Sie eine periodische Halo-Umlaufbahn mit einer Amplitude in der Ebene beschreiben$A_Y$und Amplitude außerhalb der Ebene$A_Z$an jemanden, und dann könnten sie versuchen, die Umlaufbahn zu berechnen und die X-, Y- und Z-Positionen als Funktion der Zeit zu finden, um die Bewegung im Raum zu erhalten, und dann bestimmen, wann die Umlaufbahn von Punkten auf der Erde durch die blockiert würde Mond. Ich diskutiere dies weiter in dieser Antwort auf Sind große Halo-Umlaufbahnen um L₁ und L₂ aus anderen Gründen als der Geometrie gegenüber kleinen Umlaufbahnen bevorzugt? , aber siehe die Bilder unten aus Robert W. Farquhars hundertseitigem Wälzer The Utilization of Halo Orbits in Advanced Lunar Operations , NASA Tech. Hinweis D-6365.

Aber denken Sie daran: Dies gilt nur für * kreisförmige Umlaufbahnen von 2 Körpern, und die Bewegung des echten Mondes (und andere Effekte) ist komplexer.

In Abschnitt II.B.2.b weist er darauf hin:

Für jeden Wert von$A_y$> 32.871 km ergibt sich ein entsprechender Wert von$A_z$das erzeugt einen nominellen Weg, bei dem die Grundperioden der Schwingungen der y-Achse und der z-Achse gleich sind. In diesem Fall wird die von der Erde aus gesehene nominelle Bahn niemals hinter dem Mond verlaufen. Die genaue Beziehung zwischen$A_y$, und$A_z$, für diese Familie von nominellen Pfaden ist in Abbildung 5 angegeben.

Das extrem coole und farbenfrohe Papier EJ Doedel et al, (2007) Elemental Periodic Orbits Associated with the Libration Points in the Circular Restricted 3-Body Problem International Journal of Bifurcation and Chaos 17, 2625 (2007). https://doi.org/10.1142/S0218127407018671 erstellt ein System von Illustrationen, die alle bekannten periodischen Umlaufbahnen im CR3BP (Circular Restricted Three-Body Problem) zeigen. Dies schließt viele Arten oder Klassen von Umlaufbahnen ein, wie in der Tabelle gezeigt, schließt jedoch Lissajous -Umlaufbahnen aus, da sie im Allgemeinen nicht periodisch sind. (Hinweis: Ignorieren Sie die Zeichnung im Wikipedia-Artikel!)

Sie können das Papier auch von der nicht kostenpflichtigen ResearchGate -Website herunterladen , Kaffee kochen und es dann sechs Monate lang genießen.

Es ist auch eine unbezahlte Kopie ihres früheren Artikels verfügbar: The Computation of Periodic Solutions of the 3-Body Problem Using the Numerical Continuation Software AUTO DJ Dichmann, EJ Doedel und RC Paffenroth Int. Konf. on Libration Point Orbits and Applications, Aiguablava, Spanien, 10.-14. Juni 2002

Ich habe drei Montagen von Abbildung 3 mit den Abbildungen 13 (L1), 14 (L2) und 15 (L3) gemacht und sie unten gezeigt. Für jeden wird nur die nördliche Halo-Umlaufbahn gezeigt, die südliche würde symmetrisch unter der Ebene reflektiert werden. Diese Zeichnungen verwenden das Erde-Mond-System zur einfachen Visualisierung, und Abbildung 3 zeigt das Massenverhältnis des Mondes zur Erde ($\mu \approx 0.01215$).

Sie können auch sehen, wie Sie einige Halo-Umlaufbahnen mit Python generieren und zeichnen, indem Sie das Skript in der Frage verwenden, wie Sie am besten an die State Transition Matrix denken und wie Sie damit periodische Halo-Umlaufbahnen finden? die aus dem klassischen Artikel von Kathleen Connor Howell Three-Dimensional, Periodic 'Halo' Orbits Celestial Mechanics 32 (1984) 53-71 stammt.

Bildunterschrift zu Abbildung 3: (der untere Teil mit allen Ellbogen):

Abb. 3. Bifurkationsdiagramm für das Erde-Mond-System (μ = 0,01215), das Familien periodischer Bahnen zeigt, die von den Librationspunkten und von nachfolgenden Verzweigungspunkten ausgehen. Die roten Würfel sind die Librationspunkte. Kleine weiße Kugeln bezeichnen Verzweigungspunkte und kleine dunkelrote Kugeln bezeichnen Kollisionsbahnen. Die planaren Familien C1, C2 und D1 sind nur teilweise dargestellt; insbesondere die Tatsache, dass D1 aus C1 über eine periodenverdoppelnde Bifurkation entsteht, ist in dem Diagramm nicht angedeutet. Ein Glossar der verwendeten Notation ist in Tabelle 1 angegeben.