Welche Bedeutung haben die Fourier-Koeffizienten?

Question

Welche Bedeutung haben die Fourier-Koeffizienten?

Physik
Fourier-Transformation
Signalverarbeitung

Pandu

Nehmen wir ein Beispiel, ein weißer Strahl (der aus einer Reihe von Frequenzkomponenten besteht) wird durch ein Prisma geleitet, der Strahl wird in seine elementaren Vibgyor-Farben (dh verschiedene Farbfrequenzen) aufgeteilt (zerlegt) und wir erhalten ein regenbogenähnliches Muster.

Wir wissen auch, dass eine Fourier-Reihe für Signal $x(t)$ ist gegeben als

\frac{A_{0}}{2} + \sum_{M = 1}^{\infty} (A_{M} \cos \frac{2 π M T}{T} + B_{M} Sünde \frac{2 π M T}{T})

$\frac {a_0} 2 + \sum \limits _{m=1} ^\infty \left(a_m \cos \frac {2 \pi m t} T + b_m \sin \frac {2 \pi m t} T \right)$

Hier, $a_0$ , $a_m$ Und $b_m$ Terme werden in der Fourier-Reihenformel als Fourier-Koeffizienten bezeichnet.

Aber welche Informationen liefern sie über das Signal $x(t)$ ? Auch, was ist die Bedeutung der Fourier-Koeffizienten?

QMechaniker

Wäre Mathematik oder Signalverarbeitung ein besseres Zuhause für diese Frage?

Daniel Sank

@Qmechanic Die Frage fragt nach einer Bedeutung der Begriffe. Das ist vage genug, dass ein Physiker darauf eine physikalische Antwort geben kann.

Time4Tea

Der

a_{0}

$a_0$ gibt Ihnen einen Versatz von der 'f = 0'-Achse, der möglicherweise erforderlich ist, um bestimmte Funktionen zu modellieren.

Antworten (3)

Welche Bedeutung haben die Fourier-Koeffizienten?

Wäre Mathematik oder Signalverarbeitung ein besseres Zuhause für diese Frage?
@Qmechanic Die Frage fragt nach einer Bedeutung der Begriffe. Das ist vage genug, dass ein Physiker darauf eine physikalische Antwort geben kann.
Der $a_0$ gibt Ihnen einen Versatz von der 'f = 0'-Achse, der möglicherweise erforderlich ist, um bestimmte Funktionen zu modellieren.

Daniel Sank · Answer 1

Betrachten Sie einen einzelnen Wert von $m$ . Die Fourier-Reihe für genau das $m$ gibt

A_{M} \cos (2 π M T / T) + B_{M} Sünde (2 π M T / T) .

$a_m \cos(2\pi m t / T) + b_m \sin(2\pi m t / T) \, .$ Dies kann umgeschrieben werden als

M_{M} \cos (2 π M T / T + ϕ_{M})

$M_m \cos (2\pi m t / T + \phi_m)$ Wo

M_{M} = \sqrt{A_{M}^{2} + B_{M}^{2}} Und ϕ_{M} = atan2 (- B_{M}, A_{M}) .

$M_m = \sqrt{a_m^2 + b_m^2} \qquad \text{and} \qquad \phi_m = \operatorname{atan2}(-b_m,\,a_m) \, .$ Das sieht man also

a_{m}

$a_m$ Und

b_{m}

$b_m$ sind nur das kartesische Koordinatenäquivalent der Amplitude und Phase des Signals.

Wenn Sie die vollständige Reihe mit allen Termen haben, ist es nur eine Summe vieler Sinuskurven mit jeweils eigener Amplitude und Phase. Mit anderen Worten, wir könnten äquivalent schreiben

\frac{A_{0}}{2} + \sum_{M = 1}^{\infty} M_{M} \cos (2 π M T / T + ϕ_{M})

$\frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^\infty M_m \cos(2\pi m t / T + \phi_m)$ unter Verwendung der obigen Beziehungen.

Wie auch immer, der Punkt ist, dass die physikalische Bedeutung der Koeffizienten in der Fourier-Reihe darin besteht, dass sie Ihnen die Amplitude und Phase bei jeder Frequenz mitteilen.

anna v · Answer 2

Was ist Farbe? Farbe hat zwei Möglichkeiten . Es ist das, was unsere Augennetzhaut als rot, blau, gelb wahrnimmt ... und seine Untersuchung gehört zur Biologie. Zum Beispiel ergibt das Mischen von blauer und gelber Farbe die grüne Farbe, die von unserer Netzhaut identifiziert wird.

Im Regenbogen wird jede Frequenz entsprechend der Stärke angezeigt, die von der weißen Lichtquelle kommt, und unsere Netzhaut identifiziert sie als Farbe . Wenn man einen weißen Lichtstrahl nimmt und das Spektrum erzeugt, wenn es mit Fourier-Funktionen ausgestattet ist, wäre die Intensität jeder Linie die Konstante vor dem Sinus und Kosinus.

Informationen stammen von den dominanten Begriffen: Sie sagen die dominanten Frequenzen aus, je größer der Koeffizient eines Sinus/Kosinus, desto stärker ist diese Frequenz/Farbe in der Mischung von Frequenzen des weißen Lichts.

Ich werde bearbeiten, da Sie anscheinend nicht wissen, was Farben sind.
Vielleicht hilft Ihnen das, facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Freq/… , es geht um die Signalverarbeitung. Das Frequenzspektrum von weißem Licht an sich ist nicht zeitabhängig.
Was können wir also aus der Analyse des Regenbogens ableiten? Ich denke, die Frequenzen in den Exponenten sind die Wellenfrequenzen, die Koeffizienten sind die Intensitäten, die Summe ist die Interferenz von ihnen. Hab ich recht?
@Ooker Ja, für einen Spektralgraphen. Die Wahrnehmung der Farben durch den Menschen muss die Biologie der Netzhaut beinhalten.

haoyujie · Answer 3

Oh, ich habe etwas.

Umfang = 2πr.

Dann gilt: r = Amplitude;

Also Amplitude = 2πr/2π

und tatsächlich, denken Sie nur an eine Sin-Welle, T = 2π.

==> Amplitude = r = 2πr/2π = 2πr/T

Welche Bedeutung haben die Fourier-Koeffizienten?

Pandu

QMechaniker

Daniel Sank

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Daniel Sank

anna v

anna v

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Ocker

anna v

haoyujie

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