Warum werden bei der Darstellung eines Signals oder einer Welle Kosinus- und Sinusfunktionen verwendet? [abgeschlossen]

Während Sinus- und Kosinusfunktionen ursprünglich basierend auf rechtwinkligen Dreiecken definiert wurden, ist es im aktuellen Szenario nicht wirklich das Beste, diesen Standpunkt zu betrachten. Vielleicht wurde Ihnen beigebracht, die Sinusfunktion als "Gegenteil der Hypotenuse" zu erkennen, aber jetzt ist es an der Zeit, eine etwas andere Sichtweise zu haben.

Betrachten Sie den Einheitskreis$x^2+y^2=1$auf einer kartesischen Ebene. Angenommen, eine Linie, die durch den Ursprung verläuft, bildet einen Winkel$\theta$mit dem$x$-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn, der Schnittpunkt der Linie und des Kreises ist$(\cos{\theta},\sin{\theta})$.

Denk darüber nach. Stimmt diese Sichtweise mit der früheren überein? Beide Definitionen sind gleich.

Sie fragen sich also, wozu wir diese Sichtweise brauchen ? Nun, ich würde sagen, es ist einfacher zu verstehen, wie wichtig Sinuswellen bei vielen gängigen Phänomenen sind. Angenommen, wir fangen an, die Linie zu spinnen, indem wir machen$\theta$linear steigen. Sie würden so etwas bekommen:

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind wohl in mehreren Fällen die wichtigsten periodischen Funktionen:

1. Die periodischen Funktionen, wie sich Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung mit der Zeit in SHM-Oszillatoren ändern, sind sinusförmige Funktionen.

2. Jedes Teilchen hat eine Wellennatur und umgekehrt. Dies ist de-Broglies Wave Particle Duality. Wellen sind immer sinusförmige Funktionen einer physikalischen Größe (wie elektrisches Feld für EM-Wellen und Druck für Schallwellen).

Schall selbst ist eine Druckstörung, die sich durch materielle Medien ausbreitet, die sich komprimieren und ausdehnen können. Es ist der Druck an einem Punkt entlang der Schallwelle, der sich sinusförmig mit der Zeit ändert.

Sprachsignale sind keine perfekten Sinuswellen. Ein reiner Ton von einer Stimmgabel wäre die perfekte Sinuswelle. Normales Sprechen ist keine reine Sinuswelle, da die Menschen nicht die gleiche Lautstärke oder Frequenz beibehalten. Als Ergebnis sieht Rauschen im Vergleich zu reinen Frequenzen so aus.

Beachten Sie die Unregelmäßigkeiten in der Amplitude und der Frequenz der Rauschwelle.

3. Wechselspannungen, die in Ihren alltäglichen Steckdosen verwendet werden, sind tatsächlich sinusförmig variierende Spannungen als Funktion der Zeit.

tl;dr:

Die Betrachtung von Sinuswellen als "Gegenteil durch Hypotenuse" ist bei weitem nicht der beste Vergleich, wenn es um alltägliche Anwendungen der Physik geht.

Weiterlesen:

1. Geschichte der Trigonometrie
2. Klang
3. Wellenmodell der elektromagnetischen Strahlung
4. Wechselstrom
5. Einfache harmonische Bewegung

Die trigonometrischen Funktionen bilden eine Grundlage für den Raum der "vernünftigen Signale". (Für die Zwecke dieser Antwort sind "vernünftige Signale" kontinuierliche Funktionen mit endlicher Energie und begrenzter Leistung.) Das Wort " Basis " ist hier genau so gemeint, wie es in der linearen Algebra verwendet wird. (Dies wird explizit auf der verlinkten Seite besprochen.)

Warum sollte jemand diese Basis verwenden?

tl;dr : Diese Basis fängt unsere Erfahrung der Signalzerlegung in spektrale oder Frequenzkomponenten ein. Außerdem hat es mathematische Eigenschaften, die es ermöglichen, einige physikalisch relevante Differentialgleichungen leicht zu lösen.

Physikalisch entspricht es unserer Erfahrung, dass Töne Kombinationen von Frequenzen mit verschiedenen Amplituden und Phasen sind. Ein musikalischer Akkord ist ein einfaches Beispiel dafür. Die Unterschiede zwischen Musikinstrumenten, die dieselbe Note spielen, beziehen sich hauptsächlich auf die Amplituden von Komponenten höherer Frequenz, die auch von dem Instrument erzeugt werden, wenn die Note gespielt wird. Es entspricht auch unserer Erfahrung, Licht zu betrachten, nachdem es durch ein Prisma getreten ist. (Das wissen wir jetzt) ​​Dieses Licht wurde in seine verschiedenen Frequenzkomponenten aufgespalten. Diese Phänomene legen also nahe, dass es bequem/fruchtbar wäre, einen Weg zu finden, ein kompliziertes Signal als Summe einfacher periodischer Funktionen auszudrücken. Beachten Sie, dass diese beiden Phänomene durch Medien transportiert werden, in denen es kein physikalisches Dreieck gibt, das dem beobachteten Signal entspricht. (Für den Ton, die Longitudinalwellen scheinen zu entarteten Dreiecken zu führen, bei denen alle drei Seiten parallel zur Fahrtrichtung verlaufen. Für das Licht zeigen die "Dreiecke" in Richtung der elektrischen oder magnetischen Felder, die gewissermaßen senkrecht zum Raum stehen.)

Mathematisch gesehen ist diese Basis praktisch, da die Differenzierung Basiselemente in Vektoren derselben Basis mit derselben Häufigkeit umwandelt. Zum Beispiel,$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sin(9t) = 9 \cos(9t)$. Dies ist anders als bei Polynomen, bei denen die Differenzierung polynomische Basiselemente (die sind$t^n$für ganze Zahlen$n$) zu Polynomen unterschiedlichen Grades, z.$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} t^2 = 2 t$. Es gibt natürlich (unendlich viele) andere Basen, aber die meisten von ihnen verwenden Funktionen, die Sie nicht kennen oder nicht erkennen würden. (Beispiele: Daubechies Wavelets , Coiflets ) Die erste Basis, die Sie jemals verwenden, könnte als "Dirac-Basis" bezeichnet werden (obwohl dies niemand tut). Auf dieser Grundlage ist ein Signal eine Summe von zeitverschobenen und amplitudenskalierten Kopien der Funktion$p(t) = \begin{cases} 1 & t=0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$, eine für jeden Zeitpunkt, die jeweils die Amplitude des Signals zu diesem Zeitpunkt angeben. Anders als die trigonometrischen Basiselemente, die$p$Die Ableitung von ist nicht einmal eine Funktion, also ist es schwierig, mit ihr zu arbeiten. Im Allgemeinen lassen sich Elemente anderer Basen nicht so gut differenzieren wie die trigonometrischen Funktionen. Während es also viele periodische Basen gibt, die wir verwenden könnten , um ein Signal darzustellen, hat die trigonometrische Funktionsbasis einige nette Eigenschaften, die die anderen nicht haben.

Eine Folge dieser netten Wechselwirkung mit der Differentiation ist, dass man einige Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen zurückführen kann. Insbesondere der Betrieb$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t)$in der Dirac-Basis wird$2 \pi \mathrm{i} \omega \hat{f}(\omega)$(wobei der "Hut" die Version von bedeutet$f$nach Basiswechsel zu den trigonometrischen Funktionen und$\omega$ist eine Frequenz). Sagen wir, wir wollen lösen

Also wenn$\omega$entweder$\pm \frac{k}{2 \pi}$(in Einheiten von Hertz ) finden wir eine Lösung für unser System. Das heißt, es gibt nur eine Frequenz, die eine Lösung unserer Resonanzgleichung ist. (Es ist entweder in ansteigender oder in abnehmender Phasenform vorhanden, aber beide haben die gleiche Frequenz.)

Aber der Punkt ist, der Wechsel von der Dirac-Basis zur trigonometrischen Basis hat es viel einfacher gemacht, dieses Problem zu lösen. Anstatt eine Differentialgleichung lösen zu müssen, mussten wir nur ein wenig Algebra machen.

Technischer Kommentar:

Es gibt mehrere Konventionen für Fourier-Transformationen (die verwendet werden, um zur obigen trigonometrischen Basis zu gelangen). Sie sind vielleicht ein anderes gewohnt. Bei meiner Arbeit verwende ich normalerweise

Die Mathematik hat sich von der Geometrie zu Analysis und Differentialgleichungen entwickelt. Es wird festgestellt, dass Differentialgleichungen, deren Lösungen Wellen beschreiben, in diesen Lösungen sinusförmige Funktionen haben. Dies sollte nicht überraschen, da Wellen zeitlich oder räumlich periodisch sind und Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind. Folglich werden Differentialgleichungen mit sinusförmigen Lösungen als Wellengleichungen bezeichnet. Siehe auch diesen Link .

Periodizität

Einige ausgezeichnete Antworten auf die$\sin x$und$\cos x$Funktionen und wie sie Lösungen für die relevanten Differentialgleichungen sind, wurden bereits angegeben, aber ein wichtiger Punkt kann noch erwähnt werden: Sinus und Cosinus werden verwendet, weil sie periodisch sind und Signale/Wellen normalerweise als periodische Funktionen betrachtet oder durch diese angenähert werden.

In vielen Fällen sind Polynome die Go-to-Funktionen zur Approximation anderer Funktionen$f(x)$(siehe z. B. Taylor-Reihen ), aber sie haben typischerweise den Nachteil, dass sie für Werte von divergieren$x$weg von einem kleinen ausgewählten Bereich. Sinus und Cosinus, da sie periodisch sind, haben dieses Problem nicht.

Sinus als Funktion der Zeit sind nicht nur Merkmale von geometrischem Interesse. Das Verhalten einiger zeitabhängiger elektrischer Komponenten (Kondensatoren, Induktivitäten) ist genau dann einfach (in gewissem Sinne linear), wenn man diese Komponenten mit einer bekannten Signalfrequenz anregt, wie z. B. die Funktion Sinus (Omega * t + Phi). Wenn 'phi' = pi/2 ist, ist das Kosinus(omega * t).

Ein Großteil der Signalisierung erfolgt mit modulierten Schmalbandsignalen, da das Schmalband eine effiziente Unterdrückung von Rauschen ermöglicht. Rauschen ist im Gegensatz zu einem Signal auf ALLEN Frequenzen gleichzeitig vorhanden, liegt also hauptsächlich außerhalb des sensiblen Frequenzbereichs eines schmalbandigen Empfängers. Radio, Fernsehen, Magnetisierungsmuster von Festplatten, Ethernet, Wi-Fi... alle die besten modernen Kommunikationskanäle sind bis zu einem gewissen Grad auf Frequenzauswahl angewiesen. Um diese Methoden und die Induktoren und Kondensatoren zu verstehen, die sie implementieren, ist für jede Berechnung ein Testsignal mit ausgewählter Frequenz erforderlich. Eine reine Frequenz ist ein Sinus (Omega * t + Phi).

Dies impliziert viele Diskussionen über Sinuswellen, Generatoren von Sinuswellen und Graphen gegen die Frequenz (sinnvoll nur nach Zerlegung einer komplexen Funktion in ... eine Vielzahl von Sinuswellen).

Zunächst möchte ich auf die Mehrdeutigkeit Ihrer Frage hinweisen. Rauchsignale verwenden keine Sinus- oder Kosinusfunktionen. Eine Meereswelle auch nicht! Ich gehe also davon aus, dass Sie als Signale konstante Amplitude, periodische Schall- oder elektromagnetische Wellen meinen.
Beginnen wir damit , nicht zu wissen, welche Form eine Welle , wie oben beschrieben, hat . Wir verwenden dann einen Apparat, der die Amplitude der Welle als Funktion der Zeit (oder Entfernung) von der Quelle misst. Wir beginnen mit der Messung, wenn die Welle eine Amplitude von 0 hat, und messen nachfolgende Punkte. Dann stellen wir die Punkte grafisch dar und versuchen dann, eine bekannte trigonometrische Funktion anzupassen und stellen fest, dass sinus(t) so genau passt, wie wir die Messungen durchführen können!
Daraus schließen wir dannWelle kann durch eine trigonometrische Funktion genau dargestellt werden .
Wir verwenden auch einen einfachen Permanentmagnetgenerator und messen die Ausgangsspannung, wenn der Rotor gedreht wird. Wir stellen dann die Spannungsamplitude als Funktion des Drehwinkels graphisch dar$\phi$und wie zuvor stellen wir fest, dass wir eine trigonometrische Funktion sinus($\phi$), genau. Dies verstärkt die Vorstellung, dass Wellen durch die trigonometrischen Funktionen (Sinus/Kosinus) genau dargestellt werden .