Welche Geschwindigkeit brauchen Sie in 100 km Höhe, um der Schwerkraft der Erde zu entkommen?

Ich verstehe, dass die Fluchtgeschwindigkeit der Erde 11 km/s beträgt. Der Gravitationseinflussbereich der Erde ist jedoch nicht unendlich, daher ist es möglich, langsamer zu fahren und dennoch dem Einflussbereich zu entkommen (wegen der Sonne). Wenn eine Rakete von 0 auf der Erdoberfläche zu beschleunigen beginnt, welche Geschwindigkeit hätte sie? sich beispielsweise 100 km über der Erdoberfläche befinden, um der Schwerkraft der Erde zu entkommen? Wie würden Sie das berechnen?

Wo die Rakete startet, ist irrelevant. Alles, was Sie brauchen, ist die Gravitationskraft in der interessierenden Höhe, um die Fluchtgeschwindigkeit an diesem Ort zu berechnen.
Die Fluchtgeschwindigkeit ist eine Funktion der Höhe über einem Körper und der Masse dieses Körpers, es ist kein einzelner fester Wert. Die Fluchtgeschwindigkeit bei 1000 km unterscheidet sich von der Fluchtgeschwindigkeit auf der Erdoberfläche.

Antworten (2)

Der Einflussbereich der Erde hat einen Radius von etwa 924000 km. Eine stark exzentrische Umlaufbahn mit einem Perigäum in 100 km Höhe und einem Apogäum im SOI-Radius hat eine große Halbachse von 465239 km. Wirf das in die Vis-viva -Gleichung v 2 = G M ( 2 R − 1 A ) Wo G ist die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde, R der Orbitalradius ( nicht die Höhe) am Perigäum und A die große Halbachse der Umlaufbahn ergibt eine Perigäumsgeschwindigkeit von 11,05 km/s. Verwenden der Fluchtgeschwindigkeitsgleichung v e = 2 G M R Sie würden eine Fluchtgeschwindigkeit in 100 km Höhe von 11,09 km / s erhalten, also ist eine kleine Ersparnis zu erzielen, aber wirklich, der Rand des Einflussbereichs ist ziemlich weit entfernt.

Obwohl dies nicht ganz das ist, wonach Sie gefragt haben, wäre ich erschrocken, wenn Ihre direkte Aufstiegsbahn eine Geschwindigkeit beinhalten würde, die sich dramatisch von dieser Zahl unterscheidet.

Du gehst auf eine schwierige Art und Weise an ein einfaches Problem heran :-)
@CarlWitthoft äh, es funktioniert. Zählt etwas wirklich als schwierig, wenn es nichts zu lösen oder gar zu integrieren gilt?
Das beantwortet die Frage eigentlich nicht.

Der gravitative Einflussbereich der Erde ist nicht unendlich

Das ist dein Problem. Die Schwerkraft hat eine unendliche Reichweite. Es gibt keinen Ort im Universum, an dem die Schwerkraft der Erde nicht zu spüren ist.

Daher ist es egal, wo Sie starten, um der Erde zu entkommen, benötigen Sie 11 km/s relativ zur Erde. Wenn Sie erst mit 100 km in die Umlaufbahn kommen, dann brauchen Sie dafür bereits eine Geschwindigkeit von 7 km/s. Von dieser Umlaufbahn aus brauchen Sie nur noch 4 km/s, um der Erde vollständig zu entkommen – aber nur, weil Sie bereits mit 7 km/s unterwegs sind.

BEARBEITEN

Wie von @uhoh betont, variiert die Fluchtgeschwindigkeit mit der Höhe. Allerdings ist der Unterschied auf 100 km so gering, dass ich ihn ignoriert habe. Wie beim OP habe ich die Fluchtgeschwindigkeit auf 11 km / s geschätzt. Tatsächlich beträgt sie am Boden 11,186 km/s und bei 100 km reduziert sie sich auf 11,099 km/s.

Dieselbe Annäherung ignoriert auch die Tatsache, dass, wenn Sie weit genug von der Erde entfernt sind (924.000 km), die Schwerkraft der Sonne stärker ist als die der Erde, und Sie den Einflussbereich der Erde verlassen – der keine exakte Kugel ist. Dies wird noch dadurch erschwert, dass der Einfluss der anderen Planeten und des Mondes ignoriert wird. Wenn Sie zum Beispiel zum Mond reisen, übersteigt das Gravitationsfeld des Mondes das der Erde (und der Sonne), wenn Sie etwa 40.000 km vom Mond entfernt sind.

Der gravitative Einflussbereich der Erde ist sicherlich endlich und hat einen Radius von 945.000 km. Ich empfehle Ihnen, sich diesen Link anzusehen und dann Ihre Antwort entsprechend zu überarbeiten. Es ist wahr, dass es keine Grenze für a gibt 1 / R 2 Kraft (anders als die Lichtgeschwindigkeit), aber "Einflusssphäre" ist ein allgemein anerkannter Fachbegriff.
Außerdem ist die Fluchtgeschwindigkeit der Erde bei 100 km sicherlich niedriger, tatsächlich etwa 0,8% niedriger! Unter Berücksichtigung des atmosphärischen Luftwiderstands und der Rotation würden Sie bei einer Geschwindigkeit von 11,186 km / s an der Oberfläche (der ballistischen Geschwindigkeit, die erforderlich ist, um asymptotisch ins Unendliche zu entkommen) nur 11,099 km / s ab einer Höhe von 100 km benötigen.
Die Fluchtgeschwindigkeit von einem Körper hängt von der Starthöhe ab, was klar ist, wenn Sie sich daran erinnern, dass die Schwerkraft dieses Körpers Sie auf dem gesamten Weg abbremsen wird, egal aus welcher Höhe Sie starten.
@uhoh Dein Kommentar sieht für mich nach einer ziemlich anständigen Antwort aus. Darf ich vorschlagen, dass Sie es ein wenig zu einem erweitern?
@DiegoSánchez meine Kommentare sind als Coaching gedacht; Hoffentlich wird der Autor die Antwort überarbeiten und einige davon verwenden. Wenn das passiert, werde ich meine vorübergehende Ablehnung in eine positive Stimme umwandeln. Wenn Leute einen Beitrag als Antwort auf einen Kommentar überarbeiten, hinterlassen sie normalerweise eine kurze Nachricht, dass @uhoh I've made an edit, how does that look?ich dann eine Benachrichtigung bekomme und meine Bewertung anpassen kann. Wenn in der Zwischenzeit jemand anderes eine Antwort postet, wäre das auch großartig!
Welche Geschwindigkeit brauchen Sie in 100 km Höhe, um der Schwerkraft der Erde zu entkommen?
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