Welche Lösung der elektromagnetischen Wellengleichung ist das genaueste Modell für monochromatisches Licht?

Gibt es Experimente, die zeigen könnten, dass Lichtwellen eher Rechteckwellen als Sinuswellen ähneln? Gibt es Experimente, die zeigen könnten, dass Lichtwellen eher Rechteckwellen als Sinuswellen ähneln?

Betrachten Sie vorübergehend Ihr Beispiel einer Rechteckwelle, einer Rechteckwelle mit räumlicher Wellenzahl$k$lässt sich in einer Fourierentwicklung als Überlagerung von Sinuswellen mit räumlichen Wellenzahlen darstellen$k,3k,5k...$usw. Angenommen, wir führen unsere Messungen in einem Medium durch, das linear auf die Felder reagiert (was in den meisten Materialien für Felder mit Leistungsdichten erfüllt ist).$\ll10^8\mathrm{V/m}$, dem praktisch alle Optikexperimente genügen), gilt das Superpositionsprinzip, und so können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Wirkung einer Versuchsapparatur auf jede einzelne Basisfunktion untersuchen und die Ergebnisse dann zusammenzählen.

Es ist bekannt, dass einzelne Sinuswellen von einem Beugungsgitter in genau definierten Winkeln gebeugt werden, so funktionieren Monochromatoren. Wenn wir also eine Rechteckwellenquelle hätten, würden wir mehrere Harmonische sehen, die durch das Gitter geteilt werden. Alternativ könnten wir ein Prisma verwenden. Wenn (quasi) monochromatisches Licht wirklich eine Rechteckwelle wäre, könnten Sie in jedem Fall die Harmonischen sehen, aber Sie tun es nicht.

(Aus einem Kommentar): Sie sagen "Es ist bekannt, dass einzelne Sinuswellen in genau definierten Winkeln von einem Beugungsgitter gebeugt werden", aber woher wissen wir das? Einzelne Wellen werden von einem Beugungsgitter in genau definierten Winkeln gebeugt, aber woher wissen wir, dass es sich um Sinuswellen handelt?

Es ist nicht ganz richtig zu sagen, dass "einzelne Wellen von einem Beugungsgitter in genau definierten Winkeln gebeugt werden" in dem Sinne, dass das Beugungsmuster die Form eines "Lattenzauns" aus einzelnen Spitzen annimmt. Lesen Sie einen beliebigen Text zur Einführung in die Optik und Sie werden Beispiele sehen (wie z ein Engel. Die Begründung gilt nicht unbedingt für beliebige Wellen (aber aufgrund der Linearität können beliebige Wellen durch Fourier-Zerlegung behandelt werden).

(Aus einem Kommentar): Könnten wir nicht auch eine Sinuswelle als unendliche Überlagerung von Rechteckwellen darstellen? Oder zumindest als Überlagerung von periodischen Funktionen, die weder Sinus noch Cosinus sind? In diesem Fall könnten wir nach Ihrer Argumentation die Harmonischen auch bei einer Sinuswelle sehen

Während es verlockend ist, verbale Argumente zu verwenden, um zu physikalischen Schlussfolgerungen zu kommen, müssen Sie wirklich rechnen, um sicherzustellen, dass Ihre Worte korrekt sind. Sie sagen zu Recht, dass eine Zerlegung nach Sinus nicht notwendig ist; Durch Linearität können wir die Physik tatsächlich auf jeder gewünschten periodischen Basis berechnen, z. B. Rechteckwellen, und aufgrund der Linearität wird das Endergebnis immer dasselbe sein.

Um dies zu veranschaulichen, sehen wir uns an, was genau passiert, wenn wir versuchen, eine Sinuswelle und eine Rechteckwelle in einem Mehrfachschlitzaufbau mit 61 Schlitzen zu beugen. Lassen Sie die$k$te Schlitz auf einer Höhe angeordnet sein$kd$Wo$d$der Schlitzabstand ist, und lassen Sie den Schirm in einem Abstand angeordnet sein$R$aus den Schlitzen. An einem Ort der Höhe$y$auf dem Bildschirm, der Abstand zwischen den$k$Schlitz und die Lage ist

$$d(k,y)=\sqrt{R^2+(y-kd)^2}\approx \sqrt{d^2 k^2+R^2}-\frac{d k y}{\sqrt{d^2 k^2+R^2}}$$ und für eine einfallende Sinuswelle wird die Feldamplitude, die den Punkt trifft, zu $$E(k,y)\propto\exp\left(\frac{2\pi i d(k,y)}{\lambda}\right)$$ und so wird die Lichtintensität an diesem Punkt $$I(y)=\left|\sum_{k=-30}^{30}E(k,y)\right|^2$$ das sieht im Prinzip so aus:

expr = Sum[
   Exp[2 \[Pi] I (Sqrt[d^2 k^2 + R^2] - (d k y)/Sqrt[
        d^2 k^2 + R^2])/\[Lambda]], {k, -30, 30}];
Plot[Abs[expr /. {R -> 1, \[Lambda] -> 0.0000025, 
    d -> 0.00002}], {y, -0.3, 0.3}, PlotRange -> All, 
 PlotPoints -> 60, ImageSize -> 900, AspectRatio -> 0.3]

In der Zwischenzeit können wir genau dasselbe mit einem Rechteckwellenstrahl tun, der auf die Schlitze trifft. Wir haben

$$E(k,y)\propto\mathrm{SquareWave}\left(\frac{d(k,y)}{\lambda}\right)$$ und wieder wird die Lichtintensität an diesem Punkt $$I(y)=\left|\sum_{k=-30}^{30}E(k,y)\right|^2$$ das sieht im Prinzip so aus:

expr = Sum[
   SquareWave[(Sqrt[d^2 k^2 + R^2] - (d k y)/Sqrt[
       d^2 k^2 + R^2])/\[Lambda]], {k, -30, 30}];
ListLinePlot[
 Table[Abs[
   expr /. {R -> 1, \[Lambda] -> 0.0000025, d -> 0.00002}], {y, -0.3, 
   0.3, 0.00005}], PlotRange -> All, AspectRatio -> 0.3, 
 ImageSize -> 900]

Beachten Sie, dass es zusätzlich zu den Hauptspitzen kleinere Seitenbandspitzen mit Abständen gibt, deren Abstände Faktoren von sind$1,3,5,7,...$mal kleiner als die der Fundamentalfolge. Dies sind die oben erwähnten Harmonischen, die, wie ich bereits erwähnt habe, abgeleitet werden können, indem man die Zerlegung der Rechteckwelle in eine sinusförmige Basis betrachtet.

Beachten Sie jedoch, dass ich nirgendwo im obigen Code, der zum Generieren des Bildes verwendet wurde, Sinuswellen verwendet habe! Es basierte vollständig auf einer direkten Rechteckwellensummierung. Dies ist ein gutes Beispiel dafür, dass die Wahl der Basis, die Sie wählen, um die lineare Physik darzustellen, irrelevant ist.

Also mein bestes Verständnis:

Die grundlegende Lösung der Wellengleichung ist

$$\Psi(x,t)=Ae^{ikx-i\omega t}$$ Wo die Zeichen willkürlich sind. Wenn Sie dies mit der guten alten Euler-Formel kombinieren , erweitert sich dies zu $$\Psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)$$ Wo der Imaginärteil in diesem B absorbiert wird