Intensität bei θ=0θ=0\theta = 0 bei Spaltbeugung

Question

Intensität bei θ=0θ=0\theta = 0 bei Spaltbeugung

Sorën

Aus der Erklärung zur Beugung unter http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/coursenotes/modules/guide14.pdf

ICH = {ICH}_{0} {[\frac{Sünde (β / 2)}{β / 2}]}^{2} = {ICH}_{0} {[\frac{Sünde (π A Sünde θ / λ)}{π A Sünde θ / λ}]}^{2}

$I = I_0\left [ \frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2} \right ]^2=I_0\left [ \frac{\sin(\pi a \sin \theta/\lambda)}{\pi a \sin \theta/\lambda} \right ]^2$ Wo

a

$a$ ist die Schlitzbreite,

β = 2 π a \sin θ / λ

$\beta = 2\pi a \sin \theta /\lambda$ ist die Gesamtphasendifferenz zwischen Wellen vom oberen Ende und vom unteren Ende des Schlitzes, und

I_{0}

$I_0$ ist die Intensität bei

θ = 0

$\theta=0$

Ich habe in Lehrbüchern keine Antwort auf meine Frage gefunden, die lautet: Wie kann ich rechnen? $I_0$ ?

Ist es einfach gleich der Gesamtintensität des auf den Schlitz einfallenden Strahls oder ist es etwas anderes?

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Intensität bei θ=0θ=0\theta = 0 bei Spaltbeugung

Mostafa · Answer 1

Ein wenig Hintergrundwissen: Wie in Ihren Notizen angegeben, wird diese Gleichung unter Verwendung der Fraunhofer- Beugungsformel erhalten (die eine Annäherung an die allgemeinere Rayleigh-Sommerfeld-Formel ist). Gemäß dem Fraunhofer-Beugungsintegral bei gegebener Transmissionsfunktion des Beugungsschirms:

U (X^{'}, j^{'}) = {\begin{cases} 1 auf der Blende \\ 0 ansonsten \end{cases}

$U(x',y')=\cases{1\quad\quad\text{on the aperture}\\0\quad \quad\quad \text{otherwise}}$

das gebeugte Feld, das auf einer entfernten Ebene beobachtet wird $z$ vom Bildschirm wäre

U_{Ö} (X, j) = \frac{e^{J k z} e^{J \frac{k}{2 z} (X^{2} + j^{2})}}{J λ z} F {U_{ich N C} (X^{'}, j^{'})} |_{(F_{X}, F_{j})}

$U_O(x,y) = \frac{e^{jkz}e^{j\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}}{j\lambda z}\mathcal F\{U_{inc}(x',y')\}|_{(f_x,f_y) }$ das ist nur die Fourier-Transformation der Transmissionsfunktion,

F {U (x^{'}, y^{'})}

$\mathcal F\{U(x',y')\}$ , berechnet bei den Frequenzen

(f_{x}, f_{y}) = (\frac{x}{λ z}, \frac{y}{λ z})

$(f_x,f_y)=(\dfrac{x}{\lambda z},\dfrac{y}{\lambda z})$ , multipliziert mit einem Faktor. Daher müssen Sie im Geltungsbereich der Fraunhofer- (oder Fernfeld-) Näherung nur die Transmissionsfunktion Fourier-transformieren, um das Beugungsmuster zu finden.

In Ihrem Problem haben wir einen einzelnen Schlitz mit einer Breite von $w_x$ von einer senkrecht einfallenden ebenen Welle mit Amplitude A und Intensität beleuchtet $A^2$ . Daher wäre die Transmissionsfunktion eine Rechteckfunktion $\mathrm {rect}(\dfrac{x'}{w_x})$ . Wenn wir seine Fourier-Transformation in einer Tabelle nachschlagen , finden wir das gebeugte Feld unter Verwendung der obigen Formel:

U (X) = A \frac{e^{J k z} e^{J \frac{k}{2 z} X^{2}}}{J λ z} \times w_{X} S ich N C (\frac{w_{X} X}{λ z})

$U(x) = A\frac{e^{jkz}e^{j\frac{k}{2z}x^2}}{j\lambda z}\times w_x\mathrm {sinc}(\frac{w_xx}{\lambda z})$ und für die intensität:

ICH (X) = | U (X) |^{2} = A^{2} \frac{w_{X}^{2}}{λ^{2} z^{2}} {S ich N C}^{2} (\frac{w_{X} X}{λ z})

$\boxed{I(x)=|U(x)|^2=A^2\frac{w_x^2}{\lambda ^2 z^2}\mathrm {sinc}^2(\frac{w_xx}{\lambda z})}$

Wo $\mathrm {sinc}(x) = \frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ . Dies ist im Wesentlichen dieselbe Formel in Ihrer Frage, da Sie in der Fraunhofer-Näherung verwenden können $\sin\theta\approx \tan \theta= \dfrac{x}{z}$ .

Deshalb, $I_0$ in Ihrer Frage wäre $A^2\dfrac{w_x^2}{\lambda ^2 z^2}$ .

Also, wenn wir die Breite des Schlitzes machen $w_x$ groß genug, das verstehen wir $I_0$ ist eigentlich größer als $A^2$ , oder anders ausgedrückt, die Intensität der einfallenden ebenen Welle?
@no_choice99 Guter Punkt! Die Antwort ist offensichtlich nein, das können wir nicht. Diese Formel wird basierend auf der Fraunhofer-Näherung erhalten. Eine der Annahmen dieser Annäherung ist $z\gg\dfrac{k(x'^2+y'^2)_{max}}{2}$ oder in diesem Fall $z\gg\dfrac{k(w_x/2)^2}{2}$ . Daher werden wir immer haben $\dfrac{w_x^2}{\lambda^2z^2}<1$ .

Intensität bei θ=0θ=0\theta = 0 bei Spaltbeugung

Sorën

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