Welche Mindestzahl (A) kann genommen werden, damit (A)^N größer ist als das Produkt von N Zahlen?

Bei einer gegebenen Folge von N Zahlen sagen wir 2,8,4,7,6,5. Wie können wir eine Mindestzahl berechnen, sagen wir A , so dass A N größer ist als das Produkt von 2*8*4*7*6*5 = 13440 ?

Die Mindestanzahl, die die obige Bedingung erfüllt, ist also 5 . Als 5 6 = 15625 , was größer als 13440 ist . Aber 4 6 = 4096 , was weniger als 13440 ist .

Antworten (2)

Das geometrische Mittel wird es tun: in Ihrem Fall haben wir

2 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 6 = ( 2 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ) 1 6 = 4.87603... also, wie du schon bemerkt hast, 5 6 > 2 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 Aber 4 6 < 2 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 .

Im Allgemeinen, wenn wir nehmen N Zahlen A 1 , . . . , A N dann Einstellung B = A 1 ⋅ A 2 ⋯ A N N wir haben

B N = A 1 ⋅ A 2 ⋯ A N
und so X N > A 1 ⋅ A 2 ⋯ A N für alle X > B

Das ist genau der Job für die N -te Wurzel. Es ist wie folgt definiert:

Der N 'te Wurzel einer positiven Zahl X , geschrieben X N , ist die eindeutige positive reelle Zahl so dass ( X N ) N = X .

In Ihrem Beispiel wollen wir die sechste Wurzel von 13440 . Wir geben es in einen Taschenrechner ein und erhalten ungefähr 4,88 . Das bedeutet, dass 4,88 6 ≈ 13440 , was uns das sagt 5 6 ist größer und 4 6 ist kleiner als das Produkt.

Sie möchten "die eindeutige positive reelle Zahl so dass", um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden 4,88 Und − 4,88 in diesem Fall ( N ist eine gerade natürliche Zahl).
@JeppeStigNielsen Du hast Recht. Behoben.
Welche Mindestzahl (A) kann genommen werden, damit (A)^N größer ist als das Produkt von N Zahlen?
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