Wenn ein magnetischer Monopol durch eine Drahtschleife wandert, in welche Richtung fließt der Strom im Stromkreis?

Von der Wikipedia-Seite über magnetische Monopole haben wir das Gaußsche Gesetz für Magnetismus,$\text{A}\cdot \text{m}$Konvention:

$$\vec{\nabla}\cdot\vec B=\mu_0\rho_m$$ Für einen magnetischen Monopol gilt $\rho_m(\vec {r_f})=q_m\delta^{(3)}\left(\vec {r_f}-\vec{r_s}\right)$Wo $q_m$ist das magnetische Monopolmoment, $\vec{r_s}$ist der Ort des Monopols, und $\vec{r_f}$ist der Ort des Feldpunktes. Der $\vec B$Feld ist dann $$\vec B\left(\vec{r_f}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q_m\hat {r}}{r^2}$$ Wo $\vec r=\vec{r_f}-\vec{r_s}$wie man das überprüfen kann $\vec{\nabla_f}\cdot\vec B=0$für $\vec{r_f}\ne\vec{r_s}$und dass der Fluss aus einer Sphäre des Radius $b$ $$\oint_{\lVert\vec{r_f}-\vec{r_s}\rVert=b}\vec B\left(\vec{r_f}\right)\cdot d^2\vec {A_f}=\mu_0q_m$$ Dann setzen wir den Monopol auf die $z$-Achse damit $\vec{r_s}=\langle0,0,z\rangle$und zentrieren Sie unsere Schleife am Ursprung in der $xy$-Flugzeug damit $\vec{r_f}=\langle r\cos\phi,r\sin\phi,0\rangle$. Dann $$d\vec{r_f}=\langle\cos\phi,\sin\phi,0\rangle dr+\langle-r\sin\phi,r\cos\phi,0\rangle d\phi$$ So $$d^2\vec{A_f}=\pm\langle\cos\phi,\sin\phi,0\rangle dr\times\langle-r\sin\phi,r\cos\phi,0\rangle d\phi=\pm\langle0,0,r\rangle drd\phi=\langle0,0,r\rangle drd\phi$$ Weil wir wollen, dass das positive Gefühl des Flusses in der ist $+z$-Richtung (nach oben). Dann $$\vec B\left(\vec{r_f}\right)=\frac{\mu_0q_m}{4\pi}\frac{\langle r\cos\phi,r\sin\phi,-z\rangle}{\left(r^2+z^2\right)^{3/2}}$$ Dann können wir den Fluss von berechnen $\vec B$durch die Schleife des Radius $a$als $$\begin{align}\Phi_B&=\int_0^{2\pi}\int_0^a\frac{\mu_0q_m}{4\pi}\frac{\langle r\cos\phi,r\sin\phi,-z\rangle}{\left(r^2+z^2\right)^{3/2}}\cdot\langle0,0,r\rangle drd\phi\\ &=-\frac{\mu_0q_mz}{4\pi}(2\pi)\left[-\left(r^2+z^2\right)^{-1/2}\right]_0^a\\ &=\frac{\mu_0q_m}2\left[\frac z{\sqrt{a^2+z^2}}-\text{sgn}z\right]\end{align}$$ Ignoriert man die verzögerte Zeit, $$\frac{d\Phi_B}{dt}=\frac{\mu_0q_m}2\left[\frac{a^2}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}-2\delta{(z)}\right]\frac{dz}{dt}$$ Da wir das positive Gefühl des Flusses als oben betrachteten, wurde das positive Gefühl von $d\vec{r_f}$von oben auf die Schleife gesehen gegen den Uhrzeigersinn. Dann aus dem Faradayschen Gesetz mit magnetischen Monopolen, $$\begin{align}\oint_{r=a}\vec E\left(\vec{r_f}\right)\cdot d^2\vec{r_f}&=-\frac{d\Phi_B}{dt}-\mu_0I_m\\ &=-\frac{\mu_0q_m}2\left[\frac{a^2}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}-2\delta{(z)}\right]\frac{dz}{dt}-\mu_0q_m\delta(z)\frac{dz}{dt}\\ &=-\frac{\mu_0q_ma^2}{2\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\frac{dz}{dt}\end{align}$$ Der unheimliche Dirac $\delta$wurde durch die Strömung aufgehoben. Es musste wirklich so sein, weil jede Fläche mit der gleichen Grenze im Faradayschen Gesetz hätte verwendet werden können. Wenn sich der Monopol direkt neben der Oberfläche befindet, ist der Fluss die Hälfte des Gesamtflusses des Monopols in einer Richtung und dann die Hälfte des Flusses, aber in der entgegengesetzten Richtung, nachdem er die Oberfläche überquert hat. Es ist ersichtlich, dass der Fluss zu allen Zeiten zunimmt, außer wenn er die Oberfläche kreuzt und die Änderungsrate des Flusses undefiniert ist. Sie ist vom Monopol aus gesehen proportional zum Raumwinkel der Schleife.

Wenn also der magnetische Monopol mit konstanter Geschwindigkeit von unten heraufkam$\frac{dz}{dt}=v_0$das Gegenuhrzeigersinn-Linienintegral von$\vec E$ist negativ, also$\vec E$von oben auf die Schleife gesehen im Uhrzeigersinn.

$$\vec E=\frac{\mu_0q_mav_0}{4\pi\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\langle\sin\phi,-\cos\phi,0\rangle$$

Um einen magnetischen Monopol zu modellieren, stellen Sie sich stattdessen eine sehr lange, sehr dünne Magnetspule mit enorm enger Wicklungsdichte und hohem Strom vor. (Ich erinnere mich vage, dass dies eine "Dirac-Saite" ist.) Aufgrund der üblichen Symmetrieüberlegungen ist das Magnetfeld außerhalb des Solenoids über den größten Teil seiner Länge Null; Feldlinien verlassen das Solenoid an seinem nördlichen Ende und treten an seinem südlichen Ende ein. Indem Sie das Solenoid dünner und enger gewickelt machen, können Sie diese "Quellenbereiche" des Magnetfelds beliebig klein machen.

Sie wissen, was passieren würde, wenn Sie das nördliche Ende dieser Magnetschnur durch eine leitende Schleife führen würden: Sie würden einen Strom in der Schleife erhalten, der versucht, der Änderung des vom Solenoid getragenen Magnetflusses entgegenzuwirken (obwohl die Informationen über das Solenoid reichen die Schleife über das Streufeld des Solenoids). Das würde auch passieren, wenn Sie einen echten magnetischen Monopol durch die Schleife führen würden.

Ihr elektrisches Feld sollte gegen den Uhrzeigersinn sein; Ihre Abbildung hat es im Uhrzeigersinn. Das Diagramm aus dem Wikipedia-Artikel ist unten wiedergegeben; Das magnetische Monopoldiagramm ist die untere Abbildung in Blau und Rot.

Sie verwenden die Rechte-Hand-Regel, wobei Ihr Daumen in Fahrtrichtung zeigt und die Finger sich in Richtung des E-Felds krümmen.

Aus Sicht des Beobachters, dem sich das Teilchen nähert, ist dies gegen den Uhrzeigersinn, was die übliche Konvention ist.