Wenn ich Bob hören kann, kann Bob mich hören? (AKA, warum muss die Green-Funktion für die Schallausbreitung symmetrisch sein?)

Angenommen, ich befinde mich an Ort X und gebe einen Ton mit einer bestimmten Lautstärke ab. Bob, der an Position Y steht, hört den Ton mit einer um verringerten Intensität X db. Wenn Bob anfängt, Geräusche auszusenden, höre ich es auch mit einer um genau reduzierten Intensität X DB? (Im Allgemeinen kann es zwischen mir und Bob eine allgemeine Konfiguration von Türen/Wänden geben, die zwischen uns beiden nicht symmetrisch ist. Diese Barrieren können etwas Schallenergie absorbieren sowie die Schallwellen reflektieren, brechen und/oder beugen).

Nun, auf technischer Ebene kann man argumentieren, dass die Antwort ja ist; Beispielsweise sollte die Ausbreitung von Schallwellen bei einer bestimmten Frequenz durch die Helmholtz-Gleichung beschrieben werden

( ∇ 2 + k ( X ) 2 ) φ = 0 ,
Wo k ( X ) ist die (möglicherweise ortsabhängige) inverse Wellenlänge des Schalls am Ort X . (Wir können auch machen k ( X ) komplex, um die Möglichkeit der Dissipation einzuschließen). Die Intensität des Schalls am Standort j aus der Position emittiert X wird dann durch die Greensche Funktion beschrieben G ( X , j ) der Helmholtz-Gleichung, die als symmetrisch gezeigt werden kann.

Dieses Argument erscheint jedoch viel zu technisch und beantwortet nicht wirklich die grundlegende Frage, warum die Ausbreitung von Schallwellen durch eine PDE mit symmetrischer Green-Funktion beschrieben werden musste. Gibt es exotische Szenarien, in denen diese Symmetrieeigenschaft nicht gilt? Hängt es von einer der Näherungen ab, die bei der Ableitung der Helmholtz-Gleichung gemacht wurden? Oder gibt es ein grundlegendes physikalisches Argument dafür, warum die Symmetrieeigenschaft wahr sein muss ?

Um eine mögliche Antwort vorwegzunehmen, glaube ich nicht, dass dies etwas mit Zeitumkehrsymmetrie zu tun hat. Zum einen gilt die Zeitumkehrsymmetrie nicht in Gegenwart von Absorption. Und in jedem Fall ist die Zeitumkehr, in der Bob einen Ton aussendet, ein Bündel von Schallwellen, die auf Bob zusammenlaufen, nicht ich, der einen Ton aussendet.

Greensche Funktionslösungen müssen Randbedingungen berücksichtigen, die leicht die Symmetrie brechen könnten. Wenn Sie und ein Freund in einem Raum mit offenem Fenster sitzen, können Sie die Gespräche der Menschen draußen besser hören als sie Ihre.
@J.Murray Ich behaupte nicht, dieses Experiment ausprobiert zu haben, aber ich habe Zweifel. In Abwesenheit von beispielsweise Windströmungen, die Schall in den Raum tragen, scheint es, dass Sie immer noch die Green-Funktion eines selbstadjungierten Operators berechnen, und diese sollte symmetrisch sein, oder? Immerhin sind die Randbedingungen zwischen den beiden Fällen noch symmetrisch.
Es ist erwähnenswert, dass Hintergrundgeräusche die grundlegende Vorstellung „wenn A B hören kann, kann B A hören“ in der Praxis falsch machen. Aber das ist eine Sache des Signal-Rausch-Verhältnisses, nicht etwas über die Schallausbreitung.
@J.Murray In meinem obigen Kommentar hätte ich, um Verwirrung zu vermeiden, sagen sollen, dass die Randbedingungen in beiden Fällen gleich sind , anstatt "symmetrisch zwischen den beiden Fällen", was etwas mehrdeutig ist.
Mikrofonkalibrierung und Schallpegelmessung beruhen auf der Reziprozitätsbeziehung, die es Ihnen ermöglicht, die Position von Quelle und Mikrofon umzukehren und das gleiche Ergebnis zu erhalten. Ich kenne einen Physiker, der Methoden zur Messung von Straßenlärm entwickelt hat, aber das ist alles, woran ich mich an Details erinnere.

Antworten (3)

Ich stimme J. Murray zu, dass Randbedingungen auf die eine oder andere Weise berücksichtigt werden müssen. Hier ist der Grund. Forderung ϕ A das Feld, wenn Alice spricht, dh wenn es eine Dirac-Quelle gibt δ A platziert bei A . Ähnlich definieren ϕ B . Dann,

( ∇ 2 + k 2 ) ϕ A = δ A , ( ∇ 2 + k 2 ) ϕ B = δ B .
Multiplizieren Sie nun die erste Gleichung mit ϕ B , zweite von ϕ A , integrieren Sie partiell (unter Verwendung des Divergenzsatzes) und nehmen Sie die Differenz, um zu erhalten
∫ ∂ Ω ( ϕ A ∇ ϕ B − ϕ B ∇ ϕ A ) ⋅ N D S = ϕ A ( B ) − ϕ B ( A ) .
Dies wird manchmal als reziproker Satz von Maxwell-Rayleigh-Betti (oder einer Teilmenge davon) bezeichnet. Wenn die Randbedingungen so sind, dass lhs Null ist, erhalten wir das ϕ A ( B ) = ϕ B ( A ) ; oder in Ihren Begriffen, dass Greens Funktion symmetrisch ist. Dies tritt für einige Standard-Randbedingungen auf (z ∇ ϕ ≡ 0 an der Grenze ∂ Ω ) ist aber, soweit ich das beurteilen kann, nicht garantiert.

Es wurden verschiedene Annahmen getroffen. Linearität für einen. Auch wurde anstelle von Zeitumkehrsymmetrie "Zeitinvarianz" angenommen: Irgendwie sind das Medium und die Grenzen stationär. Wenn Grenzen verschoben werden, werden die Dinge anders sein und die Reziprozität wird scheitern. Diese Annahmen werden manchmal unter der Abkürzung „LTI“ für Linear Time Invariant zusammengefasst. Sie können auch das Onsager Casimir-Prinzip für weitere Details überprüfen.

Aber kein Material ist völlig schalldicht. Es scheint mir also, dass die einzigen physikalischen Randbedingungen die im Unendlichen sind, und dann geht die LHS auf Null.
Tatsächlich geht die LHS bei näherer Betrachtung nicht offensichtlich im Unendlichen auf Null: ϕ A Und ϕ B werden voraussichtlich jeweils als abfallen 1 / R , und Sie integrieren über eine Fläche R 2 . Es sieht also tatsächlich so aus, als könnte die Symmetrie verletzt werden.
Bei dritten Gedanken würde ich denken, dass Sie Ihr System in ein weit entferntes absorbierendes Medium einhüllen könnten (dargestellt durch einen Komplex k 2 ) -- dies sollte die Funktion des Grüns in der Nähe nicht ändern, würde dies aber sicherstellen ϕ A Und ϕ B zerfällt im Unendlichen schnell genug, um sicherzustellen, dass die LHS auf Null geht. Ich bin also immer noch nicht davon überzeugt, dass die Symmetrie in jeder physikalischen Situation verletzt werden kann.
Leerer Raum ist schallundurchlässig und viele Materialien sind bei bestimmten Frequenzen auch "exponentiell" schallundurchlässig. Die Frage des Zerfalls im Unendlichen scheint also in der Tat heikel zu sein, und ich werde mich nicht darauf einlassen. Auch eine Änderung der Randbedingungen, egal wie weit, kann die Green-Funktion überall signifikant ändern: Vergleichen Sie eine riesige feste Kugel, die bei ihrer Resonanzfrequenz angeregt wird, und den gesamten Raum, der bei derselben Frequenz angeregt wird.

Randbedingungen sind sehr wichtig. Nehmen Sie die Akustik antiker Amphitheater, zum Beispiel des Epdidaurus , wo Sie in der obersten Reihe ein zerrissenes Papier hören können (probiert auf der Exkursion, als wir dort als Studenten waren). Niemand auf der Bühne konnte ein in der oberen Reihe zerrissenes Papier hören (selbst an einem windstillen Tag).

Das Theater wird für seine außergewöhnliche Akustik bewundert, die allen 14.000 Zuschauern, unabhängig von ihren Sitzplätzen, eine nahezu perfekte Verständlichkeit der unverstärkten gesprochenen Worte vom Proszenium oder Skēnē ermöglicht (siehe Lit., auf Griechisch). Bekanntlich haben Reiseleiter ihre Gruppen auf den Tribünen verteilt und zeigen ihnen, wie sie leicht das Geräusch eines Streichholzes hören können, das in der Mitte der Bühne angezündet wird.

Das ist interessant , bei 1 20'

Deine Randbedingungen sind: völlig ruhige Luft, keine asymmetrisch reflektierenden Flächen etc. etc.

Interessant, aber ist es möglich, dass dieses Versagen der Reziprozität auf Hintergrundgeräusche zurückzuführen ist? Das heißt, die Geräuschkulisse beim Stehen auf der Bühne ist aufgrund der Bauweise des Theaters höher als auf der Tribüne und übertönt die Geräusche des zerrissenen Papiers?
eventuell für unser Schülerexperiment. Aber hören Sie sich die YouTube-Klatschänderungen an. und diese Analyse acoustics.org/… . diese Verstärkungen würden nicht umgekehrt funktionieren. Ein Ton in der obersten Reihe hätte nicht die gleichen Reflexionen.

Ich weiß nichts über Akustik, aber wenn HF-Wellen einer Mehrwegreflexion unterzogen werden und das Signal mit mehreren Antennen empfangen wird (sogenannte Antennendiversität), um Interferenznullen zu überwinden, spielt es keine Rolle, in welche Richtung sich die Welle ausbreitet . Dies ist eine Quelle allgemeiner Verwirrung, da sich jedes Wavelet (Wellenfront/Strahl) tatsächlich reziprok ausbreitet. Das nicht reziproke Verhalten ist eine Statistikeins. Beispielsweise möchte man für einen effizienten Diversity-Empfang die Antennen so beabstandet haben, dass die empfangenen Signale voneinander unkorreliert sind. Ob diese Signale tatsächlich unkorreliert sind oder nicht, hängt von der Höhe der Antennen ab. Für einen Mobilfunkmast könnte diese Trennung mehrere Wellenlängen betragen, während für ein Mobiltelefon, das sich in der Nähe oder auf dem Boden befindet, eine Wellenlänge oder weniger betragen kann, und der Grund dafür ist, dass sich das Mobiltelefon in einer Stadt auf dem Boden befindet von Mehrwegereflektoren umgeben, der Turm hoch über dem Boden jedoch nicht. In einer ländlichen Umgebung, in der ein oder zwei Reflektoren vorhanden sind, ist natürlich sogar die Statistik reziprok.

Wenn ich Bob hören kann, kann Bob mich hören? (AKA, warum muss die Green-Funktion für die Schallausbreitung symmetrisch sein?)
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