Werden Zeit und Schwerkraft im Ruhezustand im Vergleich zum freien Fall beeinflusst?

Da Sie aufgrund Ihrer vorherigen Fragen offensichtlich daran interessiert sind, zu erfahren, wie dies durchgeführt wird, gehe ich auf die Details der Berechnung ein. Beachten Sie, dass viele der folgenden Antworten in vorhandenen Antworten zu finden sind, aber ich werde diese Antwort speziell auf Sie zuschneiden.

Die Zeitdilatation wird berechnet, indem die richtige Zeitänderung berechnet wird .$d\tau$, mit dem Ausdruck:

$$c^2d\tau^2 = -g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$$

Wo$g_{ab}$ist der metrische Tensor . Der Grund, warum wir dies zur Berechnung der Zeitdilatation verwenden können, ist, dass die Eigenzeit eine Invariante ist, dh alle Beobachter werden sich auf ihren Wert einigen. Um zu veranschaulichen, wie wir dies tun, betrachten wir das einfache Beispiel eines Astronauten, der sich mit Geschwindigkeit bewegt$v$in flacher Raumzeit. In diesem Fall ist die Metrik nur die Minkowski-Metrik, und Gleichung (1) vereinfacht sich zu:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$$

Zuerst führen wir die Berechnung im Ruhesystem des Astronauten durch. In diesem Rahmen bewegt sich der Astronaut nicht so$dx = dy = dz = 0$, und die vom Astronauten beobachtete Eigenzeit ist einfach:

$$d\tau_{astronaut} = dt$$

Lasst uns nun hier auf Erden die richtige Zeit berechnen. Wir werden unsere Koordinaten so anordnen, dass sich der Astronaut entlang der bewegt$x$Achse, also$dy = dz = 0$. In diesem Fall wird Gleichung (2) zu:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2$$

Um fortzufahren, müssen wir beachten, dass sich der Astronaut mit Geschwindigkeit bewegt$v$das bedeutet$dx/dt = v$, denn das meinen wir mit Geschwindigkeit. So$dx = vdt$. Setzen Sie dies in unsere Gleichung ein und wir erhalten:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - (vdt)^2$$

was sich neu anordnet zu:

$$d\tau_{Earth} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$$

Da die Eigenzeit eine Invariante ist, müssen sowohl wir als auch der Astronaut denselben Wert berechnet haben, dh$d\tau_{Earth} = d\tau_{astronaut}$, und wenn wir ersetzen$d\tau_{Earth}$in obiger Gleichung erhalten wir:

$$\frac{d\tau_{astronaut}}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$$

Wo$\gamma$ist der Lorentzfaktor . Aber die linke Seite ist nur die Variation der Zeit des Astronauten mit unserer Zeit - mit anderen Worten, es ist die Zeitdilatation. Und die Gleichung ist nur der Standardausdruck für die Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie, den wir allen Studenten der SR beibringen.

Der Punkt bei all dem ist, dass wir genau das gleiche Verfahren verwenden können, um die Zeitdilatation in Gravitationsfeldern zu berechnen. Nehmen wir das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Körpers, das durch die Schwarzschild-Metrik gegeben ist :

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}dr^2 - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2) \tag{3}$$

Dies ist der Gleichung (2) sehr ähnlich, die wir in der flachen Raumzeit verwendet haben, außer dass die Koeffizienten für$dt$usw. sind jetzt Funktionen der Entfernung, und wir rechnen genau so. Beginnen wir mit der Berechnung der Zeitdilatation für einen stationären Astronauten in einiger Entfernung$r$. Weil der Astronaut stationär ist, haben wir$dr = d\theta = d\phi = 0$, und Gleichung (3) vereinfacht sich zu:

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2$$

und diesmal bekommen wir:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{2GM}{r c^2}} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r}} \tag{4}$$

Wo$r_s$ist der Schwarzschild-Radius. Und das war's - so einfach ist die Berechnung der Zeitdilatation für einen stationären Beobachter in einem Gravitationsfeld. Diesen Ausdruck finden Sie in jedem Einführungstext zu GR.

Aber der eigentliche Punkt Ihrer Frage (endlich kommen wir dazu!) ist, was passiert, wenn sich unser Beobachter im Gravitationsfeld bewegt? Nehmen wir an, sie bewegen sich radial; Richtung bei Geschwindigkeit$v$, also genau wie im Fall des flachen Raums, den wir haben$dr = vdt$Und$d\theta = d\phi = 0$. Wir setzen dies in Gleichung (3) ein, um zu erhalten:

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}v^2dt^2$$

was sich neu anordnet zu:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r} - \frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}} \tag{5}$$

Und noch einmal, es ist so einfach. Wenn Sie dieses Ergebnis mit Gleichung (4) vergleichen, sehen Sie, dass die Zeitdilatation für ein sich bewegendes Objekt anders ist, weil wir einen zusätzlichen Term haben$\frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}$in der Quadratwurzel.

Ein letzter Gesundheitscheck: Was passiert, wenn wir uns unendlich weit von dem Gravitationsobjekt entfernen?$r \rightarrow \infty$? Gut, wenn$r \rightarrow \infty$Dann$r_s/r \rightarrow 0$und Gleichung (5) wird zu:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$$

das ist genau das, was wir für die flache Raumzeit berechnet haben.

Da in der Relativitätstheorie Gleichzeitigkeit relativ ist, gibt es keine Möglichkeit zu sagen, welches Objekt eine langsamere Zeitrate erfährt. Aber wenn Sie zwei Wege nehmen, die zwei Raumzeitpunkte verbinden$A$Und$B$, dann können Sie die Zeitraten entlang dieser Pfade vergleichen.

Sie sind nicht gleich. Angenommen, der erste Pfad ist geodätisch und der zweite nicht, und vergessen Sie für einen Moment die globalen topologischen Probleme. Dann gibt es ein einfaches Argument: Da die geodätische Gleichung durch Variation der Eigenzeitwirkung für das Teilchen abgeleitet werden kann, gilt sie weniger für den Weg$A$als für$B$.