Widersprüchliche Kräfte auf einer Kreisschleife unter Strom im Magnetfeld?

Ich habe folgende allgemeine konzeptionelle Bedenken.

Denken Sie an eine dünne leitende Schleife mit Radius R platziert in der X - j -Flugzeug bei z = 0 . Es liegt eine homogene Stromdichte vor J → diese Schleife durchlaufen:

J → ( R → ) = | J | δ ( z ) δ ( X 2 + j 2 − R 2 ) − j e → X + X e → j X 2 + j 2

Per Definition hat diese Schleife ein magnetisches Moment von:

M → = 1 2 ∫ D 3 R ( R → × J → ( R → ) ) = − | J | π R e → z

Stellen Sie sich nun vor, es erscheint ein Magnetfeld, das lokal beschrieben werden kann als:

B → = B 0 z e → z

Wenn wir uns fragen, wie groß die elektromagnetische Kraft auf die Schleife sein wird, haben wir zwei Gleichungen, die uns die Antwort geben können. (Die beiden Antworten sollten gleich sein, sind es aber merkwürdigerweise nicht). Die erste Gleichung ist die einfache Definition der Lorentzkraft:

F → 1 = ∫ D 3 R ( J → ( R → ) × B → )

Und die zweite Gleichung nutzt das magnetische Moment (und ist auch für dieses einfache Magnetfeld exakt):

F → 2 = ∇ ( M → ⋅ B → )

Es ist nun einfach zu sehen, dass die erste Kraft die Struktur hat F → 1 = A e → X + B e → j , während die zweite Kraft eindeutig aussehen muss F → 2 = C e → z ≠ 0 (offensichtlich ungleich Null wegen Inhomogenität B → Feld). Meine Frage ist - was ist schief gelaufen und wie kann ich das beheben?

Ich vermute, dass die Ausdrücke für F → 1 Und F → 2 annehmen ∇ → ⋅ B → = 0 .
Ja, davon wird tatsächlich ausgegangen F → 2 . Dies gilt aber im Allgemeinen, da keine magnetischen Monopole existieren. Also vielleicht ist die Lösung: F → 1 gilt nur für ein exaktes B → Feld, während F → 2 ist auch für eine lokale Näherung richtig, da sie einbezieht ∇ ⋅ B → ? Dies würde plausibel klingen.

Antworten (2)

Die Formel F 2 kann für Körper abgeleitet werden, die klein genug sind, dass die Variation in größer als der ersten Ordnung ist B im Körper hat einen vernachlässigbaren Einfluss auf die Kraft. Für größere Körper gilt es nicht, aber F1 ist es.

F1 ist also allgemeiner als F2, aber keiner von ihnen ist für irgendetwas gut, wenn wir nicht-physikalische Magnetfeldfunktionen wie verwenden z e z . Die Tatsache, dass sie unterschiedliche Ergebnisse liefern, bedeutet, dass einige Annahmen in der Ableitung in dieser Situation gebrochen sind. Wahrscheinlich die Nulldivergenz von B wird für die Ableitung von F2 benötigt.

Die Lösung kam in den Kommentaren, hier ist eine Ausarbeitung. Eine von Maxwells Gleichungen lautet:

∇ ⋅ B → = 0

Die lokale Beschreibung für B → oben gegebene erfüllt dies eindeutig nicht. Allerdings ist die Definitionsgleichung für die Lorentzkraft F → 1 setzt ein Magnetfeld voraus B → das gilt nicht nur lokal, sondern über das gesamte Raumvolumen. Daher Gleichung F → 1 kann hier nicht angewendet werden.

Andererseits Gleichung F → 2 erhält man eigentlich zunächst mit einer lokalen linearen Approximation für ein beliebiges 'gültiges' B → Feld. Die Maxwell-Gleichung ∇ ⋅ B → = 0 ist ebenfalls bereits im Ausdruck enthalten F → 2 . Daher nur in diesem Fall F → 2 liefert das richtige Ergebnis.

Sie haben also meine Lösung aus meiner Frage herausgeschnitten und als Antwort gepostet? Ich schätze, das ist die richtige Art der Buchhaltung hier, also mache ich das das nächste Mal selbst. Danke für den Tipp.
Wenn Sie Ihre Antwort als Antwort posten möchten, werde ich diese löschen oder zum Löschen markieren. Die Beantwortung Ihrer eigenen Frage ist vollkommen akzeptabel, und es ist besser, wenn die Antwort von Ihnen und nicht von mir kommt.
> "Definitionsgleichung für Lorentzkraft geht von einem Magnetfeld aus, das nicht nur lokal, sondern über das gesamte Raumvolumen gilt." Das angegebene Magnetfeld ist wegen falscher Divergenzwerte überall ungültig. Die Formel 1 nimmt nicht wirklich etwas über die Magnetfeldfunktion darin an, außer dass die Formel integrierbar ist, damit Kraft in Beziehung gesetzt werden kann B .
Widersprüchliche Kräfte auf einer Kreisschleife unter Strom im Magnetfeld?
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